Vamos $i,$ $j,$ $k$ ser números enteros no negativos tales que $i+j+k$ es incluso. La expresión $$(-1)^{j+k}\binom{i+j+k}{i,j,k}\prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{i-j+k-2\ell-1}{i+j+k-2\ell-1}$$ al parecer, calcula los coeficientes de ciertos términos en la expansión de un cierto polinomio. (Mi respuesta a esta pregunta proporciona la motivación. Por cierto, esa pregunta tiene un inminente caducidad de recompensa y merece más atención - sin duda algo mejor que mi propia pobres contribución.) Se puede demostrar - ver más adelante - de que esta expresión es invariante bajo permutación de $i,$ $j,$ $k.$ Mi pregunta es, hay una manera natural de volver a escribir la expresión para que esta simetría es más evidente? Dado que el coeficiente multinomial es claramente simétrica, el enfoque principal es en el resto de los factores, $$g(i,j,k):=(-1)^{j+k}\prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{i-j+k-2\ell-1}{i+j+k-2\ell-1}.$$ Si $g(i,j,k)$ es igual a, o está estrechamente relacionado con algún objeto con nombre, que sería muy interesante para mí.
La restricción de que el $i+j+k$ ser incluso es necesario: en el caso de $i+j+k$ impar, $g(i,j,k)$ es, de hecho, indeterminada para $k>i,j$; el signo es cambiado por ciertas permutaciones en ese caso.
Algunas ideas: podemos expresar $g(i,j,k)$ en términos generalizados, los coeficientes binomiales como $$g(i,j,k)=(-1)^{j+k}\frac{\binom{\frac{1}{2}(i-j+k-1)}{k}}{\binom{\frac{1}{2}(i+j+k-1)}{k}}=(-1)^j\frac{\binom{\frac{1}{2}(-i+j+k-1)}{k}}{\binom{\frac{1}{2}(i+j+k-1)}{k}},$$ pero esto no parece útil.
Para probar la simetría es suficiente para mostrar que el $g(i,j,k)=g(j,i,k)=g(k,j,i)$ ya que estos dos permutaciones generar el pleno de la permutación grupo. La primera igualdad se demuestra de la siguiente manera: $$\begin{aligned}g(j,i,k)&=(-1)^{i+k}\prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{-i+j+k-2\ell-1}{i+j+k-2\ell-1}\\ &=(-1)^{i+k}\prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{-i+j-k+2\ell+1}{i+j+k-2\ell-1}\\ &=(-1)^i\prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{i-j+k-2\ell-1}{i+j+k-2\ell-1}\\&=g(i,j,k).\end{aligned}$$ La segunda línea se obtiene a partir de la primera sustituyendo $k-1-\ell$ $\ell$ en el numerador; la última línea de la siguiente manera desde $(-1)^i=(-1)^{j+k}$ por la suposición de $i+j+k$ incluso.
La igualdad de $g(i,j,k)$ $g(k,j,i)$ es demostrado por tomar $k\ge i$. Tenemos $$\begin{aligned}1&=\prod_{\ell=0}^{k-i-1}\frac{i-j-k+2\ell+1}{i-j-k+2\ell+1}\\ &=\prod_{\ell=0}^{k-i-1}\frac{-i-j+k-2\ell-1}{i-j-k+2\ell+1}\\ &=\prod_{\ell=i}^{k-1}\frac{i-j+k-2\ell-1}{-i-j-k+2\ell+1}\\ &=(-1)^{k-i}\prod_{\ell=i}^{k-1}\frac{i-j+k-2\ell-1}{i+j+k-2\ell-1}.\end{aligned}$$ La segunda línea se obtiene sustituyendo $k-i-1-\ell$ $\ell$ en el numerador; la tercera se obtiene sustituyendo $\ell-i$ $\ell$ tanto en el numerador y el denominador. Entonces $$\begin{aligned}g(k,j,i)&=(-1)^{i+j}\prod_{\ell=0}^{i-1} \frac{i-j+k-2\ell-1}{i+j+k-2\ell-1}\\ &=(-1)^{i+j}\prod_{\ell=0}^{i-1} \frac{i-j+k-2\ell-1}{i+j+k-2\ell-1}(-1)^{k-i}\prod_{\ell=i}^{k-1}\frac{i-j+k-2\ell-1}{i+j+k-2\ell-1}\\ &=g(i,j,k).\\ \end{aligned}$$
