Inyección continua en $\Bbb R^m$

Question

Pregunta:

Existe una biyección continua $f: C \rightarrow D \subset \Bbb R^m$ , $\,C\subset \Bbb R^n$ es un conjunto compacto. Entonces demuestre $\,f^{-1}$ es continua.

La cuestión es que conozco la prueba con herramientas topológicas por la definición de continuo en versión topológica. Sin embargo, no sé cómo utilizar sólo la métrica para demostrarlo (aunque se puede utilizar la métrica habitual en $\Bbb R^m$ para inducir una topología y demostrarla de forma topológica).

Podría alguien decirme una pista para probar por la continuidad en cada punto usando $\epsilon-\delta$ ¿Idioma?

Answer 1

Supongamos para una contradicción que $f^{-1}$ es no continua.

Esto significa que hay un $y_0\in D$ , $\varepsilon>0$ de manera que haya $y$ s arbitrariamente cerca de $y_0$ tal que $f^{-1}(y)$ difieren de $f^{-1}(y_0)$ por lo menos $\varepsilon$ .

Elija una secuencia $(y_1,y_2,\ldots)$ de tal $y$ s que convergen hacia $y_0$ .

La secuencia correspondiente de $x_n=f^{-1}(y_n)$ vive en $C$ , que se supone compacta. Por lo tanto, tiene una subsecuencia convergente. Supongamos que converge hacia $x'_0$ . Entonces $x'_0\ne f^{-1}(y_0)$ porque todos los $x_n$ s son al menos $\varepsilon$ lejos de $f^{-1}(y_0)$ .

Pero porque $f$ es continua, debemos tener $f(x'_0)=y_0$ pero también tenemos $f(f^{-1}(y_0))=y_0$ contradiciendo la suposición de que $f$ era biyectiva.