Demostrar que el sistema de EDOs tiene una solución periódica encontrando la menor región anular de atrapamiento

Question

Encuentre la región anular de captura más pequeña de las siguientes:

$r'=r(1-2r^2+sin(2\theta)r^2)$

$\theta ' = -1$

Realmente no entiendo cómo hacer esto. He tratado de entenderlo a partir de cosas que he encontrado en Internet, pero realmente sólo he encontrado ejemplos generales, ninguno para trabajar realmente a través de un problema como este. ¿Podría alguien por favor guiarme a través de esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Podemos escribir $$\dot{r} =r[1-2r^2+\sin(2\theta)r^2]\\ =r[1-r^2-(\cos^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta)r^2] \\ =r[1-r^2-(\cos\theta-\sin\theta)^2r^2] \\ =r\left\{1-r^2\bigg[1+2\cos^2\Big(\theta+\frac{\pi}{4}\Big)\bigg]\right\}$$ La identidad anterior muestra exactamente lo que Did escribió en su comentario, es decir, que $\dot{r}<0$ por cada $r>1$ y $\dot{r}>0$ para todos $r\in(0,1/\sqrt{3})$ (la región $(1/\sqrt{3},1)$ es estable).