Estaría muy agradecido si alguien inteligente me explicara por qué el teorema de Hartman-Grobman no funciona cuando uno de los valores propios del sistema linealizado es puramente imaginario. ¿Hay alguna intuición detrás de esto?
Respuesta
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Intentaré contestar pero esto es algo que me apetece "intuitivamente". Considere el sistema linealizado con el valor propio en el eje imaginario. Considera la vecindad de dicho valor propio (en el plano complejo) y te darás cuenta del comportamiento del sistema 'discontinuo por naturaleza'. Por un lado, la vecindad de la izquierda atrae las líneas de flujo (correspondientes a los campos vectoriales asociados a la evolución del estado) mientras que, por otro lado, la derecha la repele. Por lo tanto, con la linealización se necesitarían no una, sino dos (¿o tal vez más?) funciones matemáticas para representar el comportamiento de las líneas de flujo sin ninguna continuidad en el propio punto. Esto hace que la transformación homeomórfica no sea de naturaleza continua (¿posiblemente indefinida o singular en el propio punto?). ¡Me encantaría escuchar la opinión de otros sobre esto!
