¿Es el análisis complejo más "real" que el real?

Question

En física, en el pasado, los números complejos se utilizaban sólo para recordar o simplificar fórmulas y cálculos. Pero tras el nacimiento de la física cuántica, descubrieron que una cosa tan real como la propia "materia" tenía que ser descrita por funciones de onda complejas y no hay forma de describirla usando sólo números reales.

En matemáticas, en el análisis real, hay ejemplos como la función $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ y por qué esta función no tiene la "suavidad" de la función exponencial, los polinomios, las funciones seno y coseno, por qué tiene un radio de convergencia igual a 1 a pesar de que esta función es infinitamente diferenciable. No puedes ver la realidad de esta función hasta que la veas a través del campo del análisis complejo, donde puedes observar que $f$ no es tan suave porque tiene 2 singularidades en el plano complejo.

Solo pido ejemplos como este que cuando lo ves en la estrecha "ventana" del análisis real, no puedes ver la "realidad" hasta que lo ves desde la ventana del análisis complejo. Estoy empezando a autoaprender el análisis complejo y lo encuentro más natural que el análisis real y te dice la "verdad" detrás de muchas cosas.

Answer 1

No todos los grados reales $n$ los polinomios tienen $n$ raíces (contando la multiplicidad) porque algunas de las raíces son complejas. En el dominio real, una matriz puede no tener valores propios, por ejemplo la matriz de rotación bidimensional, pero cualquier matriz real tiene un valor propio complejo. Son manifestaciones de $\mathbb{C}$ a diferencia de $\mathbb{R}$ siendo algebraicamente cerrada, es decir, que toda ecuación polinómica tiene solución. En el dominio real $\sqrt{x}$ y $\ln{x}$ sólo se definen para los casos de $x$ porque para los negativos $x$ el valor es un número complejo, y no es único.

En el dominio real los exponentes y las funciones trigonométricas son funciones completamente diferentes, pero en el dominio complejo están relacionadas por simples Fórmulas de Euler . Lo mismo ocurre con los logaritmos y las funciones trigonométricas inversas. Esta es la razón principal por la que las identidades para funciones hiperbólicas son casi iguales a las identidades trigonométricas conocidas. Muchas integrales definidas de funciones que no tienen antiderivadas elementales pueden calcularse en términos elementales extendiendo el camino de integración al plano complejo y utilizando residuos Por ejemplo $\int_0^\infty\frac{\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx=-\frac{\pi}{4}$ . De forma más general, las representaciones integrales y en serie de muchas funciones reales pueden convertirse entre sí porque estas funciones se extienden al plano complejo y las integrales de contorno se reducen allí a sumas sobre residuos. La página web Función zeta de Riemann es un beneficiario típico. Esto pone de manifiesto otra ventaja del análisis complejo sobre el real. Muchas funciones reales de uso común se extienden a funciones holomorfas en el plano complejo, y para las funciones holomorfas las herramientas de cálculo son mucho más fuertes que para las suaves, que es como las trata el análisis real.

En el dominio real, las elipses y las hipérbolas son tipos de curvas diferentes, pero en el plano complejo están relacionadas por una rotación de ejes, es decir, son la "misma" (más exactamente, estamos ante dos proyecciones diferentes de la misma curva compleja). De forma similar, las geometrías esférica e hiperbólica están relacionadas por una rotación compleja. La ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica y la ecuación del calor de la física clásica también están relacionadas por una rotación compleja llamada Rotación de mechas . La interpretación de la integral de trayectoria de las soluciones de la mecánica cuántica se puede precisar utilizando esta relación y la fórmula de Feynman-Kac.

Heaviside desarrolló cálculo operativo para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes tratando la derivada temporal como una "variable $p$ y escribir las soluciones en términos de "funciones" simbólicas de la misma. Resultó que la magia funcionó porque $p$ es de hecho una variable compleja, y las soluciones simbólicas de Heaviside pueden convertirse en reales tomando la transformada inversa de Laplace que es una integral de contorno en el plano complejo.

Funciones armónicas Las funciones armónicas, soluciones de la ecuación de Laplace, tienen muchas propiedades analíticas agradables, como ser sumas de series de potencias convergentes, alcanzar los extremos en la frontera de sus dominios, ser iguales en cualquier punto a la media de los valores en cualquier círculo centrado en él, etc. La razón subyacente es que las funciones armónicas son exactamente las partes real e imaginaria de las funciones holomorfas. Si el potencial de un campo vectorial es una función armónica $\varphi$ entonces sus líneas de flujo son curvas de nivel de otra función armónica $\psi$ exactamente la que hace que $\varphi+i\psi$ holomorfo. Las fórmulas de solución del problema de frontera de Dirichlet para la ecuación de Laplace en algunos dominios especiales son reflexiones de la Fórmula integral de Cauchy para funciones holomorfas que funciona en "cualquier" dominio.

Answer 2

Un ejemplo notable de cómo el Análisis Complejo revela algo profundo de la Física se encuentra en la Teoría Espectral. Hay un tipo de ley de conservación en la que todas las singularidades en el plano finito están relacionadas con propiedades de la singularidad en $\infty$ . Por ejemplo, si se tiene una función que es holomorfa con un número finito de polos en el plano complejo, entonces la suma de los residuos se puede calcular mirando el residuo en $\infty$ . Las extensiones de estas ideas permiten demostrar la integridad de las funciones propias de un operador $A$ sustituyendo las integrales alrededor de las singularidades de $(\lambda -A)^{-1}$ con un residuo en $\infty$ calculado como $\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda(\lambda-A)^{-1}=I$ .

Por ejemplo, si $A=\frac{1}{i}\frac{d}{dt}$ en $L^{2}[0,2\pi]$ en el dominio $\mathcal{D}$ que consiste en funciones periódicas absolutamente continuas $f$ entonces $(\lambda -A)^{-1}$ se define en todas partes excepto en $\lambda = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots$ donde tiene polos simples con residuos $$ R_{n}f = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\theta')e^{-in\theta'}\,d\theta e^{in\theta}. $$ Estos residuos son proyecciones sobre los eigenspaces asociados a los valores de $\lambda$ donde $(\lambda I -A)^{-1}$ es singular. Aunque el argumento es muy delicado, se puede sustituir la suma de todos estos residuos por un residuo en $\infty$ evaluado como $\lim_{v\rightarrow\pm\infty}(u+iv)(u+iv-A)^{-1}f=f$ lo que conduce a una prueba de la $L^{2}$ convergencia de la serie de Fourier para una $f \in L^{2}[0,2\pi]$ : $$ f = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\theta')e^{-in\theta'}\,d\theta' e^{in\theta}. $$ Este tipo de argumento se puede utilizar para demostrar la convergencia de las transformadas de tipo Fourier mezcladas con funciones propias discretas, también. Y, estos argumentos en los que las singularidades del resolvente en el plano finito se cambian por un único residuo en $\infty$ puede dar resultados de convergencia puntual que van mucho más allá del Análisis Funcional y $L^{2}$ teoría.

Estos métodos encajan perfectamente con la forma en que Dirac veía un observable como una especie de número compuesto con muchos valores posibles determinados a partir de las singularidades de $\frac{1}{\lambda -A}$ que luego utilizó para generalizar la fórmula integral de Cauchy $$ p(A)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} p(\lambda)\frac{1}{\lambda -A}\,d\lambda. $$ En este extraño entorno del Análisis Complejo, los resultados de la expansión de los vectores propios cuánticos son convincentes y casi naturales, aunque las pruebas no sean tan sencillas.

Answer 3

Si una función es analítica en el semiplano superior y va a cero lo suficientemente rápido en el infinito entonces la Kramers-Kronig las relaciones se mantienen. Por lo tanto, si $x\rightarrow f(x)=f_1(x)+if_2(x)$ es nuestra función, entonces

$$f_1(x)=\frac{1}{\pi}\cal{P}\int_{-\infty}^\infty\frac{f_2(x')}{x'-x}dx'$$ y $$f_2(x)=-\frac{1}{\pi}\cal{P}\int_{-\infty}^\infty\frac{f_1(x')}{x'-x}dx'$$

para poder calcular la parte real de $f$ de su parte imaginaria y viceversa.

En física el respuesta de impulso de un sistema físico suele satisfacer las condiciones previas para que las relaciones se mantengan. Por ejemplo, en óptica, la parte real de la respuesta al impulso está relacionada con el índice de refracción y la parte imaginaria con la atenuación. Esto permite calcular el índice de refracción a distintas frecuencias con sólo conocer la atenuación a distintas frecuencias. Es casi mágico que estas cosas estén conectadas tan directamente de esta manera, pero es difícil de ver si no te pones complejo.

Otros ejemplos incluyen la forma en que los ingenieros de audio pueden leer el retardo de fase de un componente (módulo de ciertas condiciones previas) de su Diagrama de Bode y fenómenos similares en el estudio de sistemas mecánicos oscilantes y en la física de partículas.

Answer 4

Un ejemplo es el electrostática bidimensional . El potencial en el dominio $D$ sin cargas eléctricas satisface la ecuación de Laplace $\varphi_{xx}+\varphi_{yy}=0$ . Desde el punto de vista "real", sus soluciones para

• dos planos infinitos uniformemente cargados

• dos cilindros coaxiales infinitos uniformemente cargados

no tienen nada que ver entre sí. Sin embargo, desde el punto de vista "complejo" una se obtiene de la otra por la transformación conforme $w(z)=e^z$ que mapea la franja $a<\Re z<b$ en el anillo $ e^a<|z|<e^b$ .

Answer 5

Hay algunos teoremas muy bonitos que son relativamente fáciles de demostrar y que sólo en el análisis complejo. Por ejemplo:

• Diferenciabilidad compleja : Si una función es diferenciable compleja una vez y la derivada es continua entonces es infinitamente diferenciable. Claramente no es cierto en el análisis real.

• Serie Power : No sólo son infinitamente diferenciables sino que se pueden expandir localmente en una serie de potencias convergentes, es decir, son analíticas. Lo que falla completamente en el análisis real, hay funciones infinitamente diferenciables que no son analíticas en ninguna parte.

• Fórmula integral de Cauchy : Los valores de una función holomorfa en un dominio y continua hasta su frontera sólo dependen de sus valores en la frontera, y pueden recuperarse explícitamente mediante una única integración. Esto se puede utilizar para resolver problemas de valor límite para la ecuación de Laplace.

• Teorema de Liouville : Si una función es diferenciable y acotada en $\mathbb C$ entonces es constante. Una propiedad muy fuerte, en mi opinión, pero un corolario fácil de la fórmula integral de Cauchy. Y una herramienta útil para demostrar otros teoremas, da posiblemente la prueba más sencilla del Teorema Fundamental del Álgebra .

• Principio del módulo máximo : El valor absoluto de una función holomorfa en un dominio alcanza su máximo en la frontera. Lo que nos da una forma fácil de encontrar límites a priori para las funciones holomorfas o demostrar que son constantes, entre otras cosas.