¿Por qué la expectativa de una transformación de una variable aleatoria parece diferente de la expectativa de una variable aleatoria?

Question

Digamos que tenemos una variable aleatoria continua $X_{1}$ con una función de densidad de probabilidad $p_{X_{1}}$ . La expectativa es: $$E(X_1) = \int_{X_{1}} dx_{1} \Big ( x_{1} \cdot p_{X_{1}}(x_{1}) \Big)$$ .

Ahora digamos que tenemos una variable aleatoria $Y_{1}$ que se obtiene como una transformación $g_{1}:X_{1} \rightarrow Y_{1}$ donde $y_{1} = (x_{1} - 4)^{2} $ . La expectativa de $Y_{1}$ es: $$E(Y_{1})=\int_{X_{1}} dx_{1} \Big( (x_{1}-4)^2 \cdot p_{X_{1}}(x_{1}) \Big) $$ .

Por qué la expectativa no es: $$E(Y_{1})= \int_{Y_{1}} dy_{1} \Big( y_{1} \cdot p_{Y_{1}}(y_{1}) \Big) =\int_{X_{1}} dx_{1} \Big( (x_{1}-4)^2 \cdot p_{Y_{1}}((x_{1}-4)^2) \Big)$$ ? ¿Significa esto que $p_{Y_{1}}\big((x_{1}-4)^2\big) = p_{X_{1}}(x_{1}) $ y si es así, ¿por qué es así?

Answer 1

Porque $$E(Y_{1})= \int_{Y_{1}} dy_{1} \Big( y_{1} \cdot p_{Y_{1}}(y_{1}) \Big) \neq \int_{X_{1}} dx_{1} \Big( (x_{1}-4)^2 \cdot p_{Y_{1}}((x_{1}-4)^2) \Big)$$

hay que sustituir la expresión por $y_1$ en el diferencial también.

Answer 2

$E(Y_{1})= \int_{Y_{1}} dy_{1} \Big( y_{1} \cdot p_{Y_{1}}(y_{1}) \Big) =\int_{X_{1}} dx_{1} \Big( (x_{1}-4)^2 \cdot p_{Y_{1}}((x_{1}-4)^2) \Big)$

no es cierto.

Esto se debe a que por definición de valor esperado sabemos que el valor esperado de una variable aleatoria discreta es la media ponderada por la probabilidad de todos los valores posibles. El mismo principio se aplica a una variable aleatoria absolutamente continua, salvo que una integral de la variable con respecto a su densidad de probabilidad sustituye a la suma.

Y, también sabemos que una función de una variable aleatoria, es decir, una transformación de tipo $g_{1}:X_{1} \rightarrow Y_{1}$ es una variable aleatoria. En el caso anterior se tiene una medida de probabilidad definida sobre $\mathbb{R}$ (la distribución de $Y$ ) en lugar de $\mathbb{R}$ (la distribución de $X$ ).

En general, se puede calcular la expectativa de las tres maneras siguientes:

Asumiendo la medida de probabilidad $P$ en el espacio muestral $S$ tiene un pdf $f$ . Y, la variable aleatoria $X$ es un mapeo del espacio de probabilidad $(S,P)$ a $\mathbb{R}$ y la función $g$ cartografía $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y $g(X) = Y$ , entonces la expectativa de $Y$ se puede calcular de las siguientes maneras:

$E(Y)= \int_{Y} \Big( y \cdot p_{Y}(y) \Big) dy$

$ =\int_{X} \Big( g(X)\cdot p_{X}(X) \Big)dx$

$ = \int_{s\in{S}} g(X(s))\cdot f(s)ds$