Convergencia casi segura y eventos i.o.

Question

$X_n$ sea una secuencia de variables aleatorias definidas en el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ . Entonces $X_n \rightarrow X (a.s.)$ si y sólo si $\forall \epsilon > 0, P({\omega \in \Omega: |X_n(\omega) - X(\omega)| > \epsilon \ i.o.}) = 0$ .

$a.s.$ - casi seguro, $i.o.$ - infinitamente a menudo

Intento demostrar la afirmación anterior en $\Rightarrow$ dirección. A partir de la definición de $a.s.$ convergencia, $P\{\omega \in \Omega: X_n(\omega) \not \rightarrow X(\omega)\} = 0$

es decir, $P\{\omega \in \Omega: X_n(\omega) \not \rightarrow X(\omega)\} = 0$

es decir, $P\{\omega \in \Omega: lim sup |X_n(\omega) - X(\omega)| > 0\} = 0$

es decir, $P\{\omega \in \Omega: \exists \epsilon(\omega) > 0 \ s.t.\ |X_n(\omega) - X(\omega)| > 0\} = 0$ .

¿Cómo puedo llevar $i.o.$ ¿accidentes en lo anterior? Lo que entiendo por $i.o.$ se basa en $lim sup$ de eventos. No puedo relacionar los eventos anteriores con $limsup$ de conjuntos.

Cualquier orientación adecuada sería de gran ayuda.

Answer 1

A partir de la definición de convergencia, una secuencia $a_n$ converge al límite $L$ si para todo $\epsilon > 0$ , $|a_n - L| \le \epsilon$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . Esto último no puede ocurrir si $|a_n - L| > \epsilon$ i.o. Así $\{\omega: |X_n(\omega) - X(\omega)| > \epsilon \ \text{i.o.}\}$ es disjunta de $\{\omega: X_n(\omega) \to X(\omega)\}$ .

Answer 2

Puede mostrar la siguiente inclusión. $\{\omega \in \Omega: X_n(\omega) \not \rightarrow X(\omega)\} \subset \bigcup_{m \geq 1} \{\omega \in \Omega: |X_n(\omega) - X(\omega)| > 1/m \ i.o.\}$ Y el uso de la desigualdad $$ P(\cup A_m ) \leq \sum_{m}P(A_m).$$