Cómo es la coordenada temporal global $t$ (tiempo del "observador en el infinito") definido operativamente, por ejemplo, en la métrica de Schwarzschild?

Question

Esta es una pregunta sobre el tiempo de coordenadas frente al tiempo de reloj / tiempo observado, que quiero entender porque estoy enseñando un curso de RG. Considere la métrica de Schwarzschild para la especificidad. Entiendo que el tiempo de coordenadas $t$ es el "tiempo medido por un observador en el infinito". Ahora bien, hay un sentido trivial en el que esto es cierto: si se toma $r\to\infty$ y considera un reloj estacionario (respecto a las coordenadas) allí entonces $d\tau = dt$ . Pero esto sería cierto incluso si se introdujera una nueva coordenada temporal global $t'=t(1+e^{-\lambda|r-r_0|})$ , lo que induciría un "abultamiento" arbitrario en $g_{00}(r)$ en las proximidades de algunos $r_0$ porque seguiría siendo el caso que $\lim_{r\to\infty}g_{00}(r) = 1$ . Así que, supongo, hay algún significado menos trivial en la afirmación de que $t$ La coordenada temporal habitual en la métrica de Schwarzschild es el "tiempo medido por un observador en el infinito".

¿Es que el observador en el infinito asigna un tiempo $t$ a un evento $(t,r,\theta,\phi)$ si envía a ese suceso, y recibe de él, una señal luminosa a tiempos (tiempo de reloj para el observador en el infinito) $t-T$ y $t+T$ respectivamente, para algunos $T$ ? Si es esto, ¿es equivalente a decir que el observador en el infinito observa un desplazamiento gravitatorio de los fotones emitidos desde "más abajo" en el pozo gravitatorio y utiliza esa observación para definir la tasa de cambio de tiempo en esos puntos inferiores? Si es así, ¿en qué condiciones son iguales? O, más generalmente, ¿en qué condiciones $\sqrt{g_{00}(A)/g_{00}(B)}$ dan el corrimiento gravitacional entre puntos $A$ y $B$ . Mi ejemplo anterior, con $t'$ parece mostrar que no siempre viene dada por esta expresión, incluso para una métrica estacionaria, debido a la arbitrariedad del tiempo de las coordenadas. Esto no se aborda en el libro que he estado utilizando, que sólo dice que el corrimiento gravitacional es $\sqrt{g_{00}(A)/g_{00}(B)}$ para las métricas estacionarias, sin calificaciones.

(Pido disculpas si esto se aborda en otro lugar, pero no he podido encontrarlo mediante la búsqueda de palabras clave).

Answer 1

El significado de la coordenada t es mucho más amplio. De hecho, podríamos hablar de eventos que nunca envían o reciben señales desde el infinito. Después de todo, las señales hacia y desde el infinito tardarán literalmente un tiempo infinito en "llegar". La coordenada t en un espaciotiempo estacionario se elige a menudo para adaptarse al campo de Killing, es decir, para representar con precisión la invariancia de traslación del tiempo presente en el espaciotiempo. Podemos utilizar diferentes coordenadas temporales, pero de forma bastante genérica será sólo una con la característica muy especial de que todas las componentes de la métrica son independientes de t. Cuando este es el caso se pueden simplificar los cálculos considerablemente. Por ejemplo, si sabemos que una determinada geodésica que conecta los sucesos A y B viene dada por $[t (\lambda) , r(\lambda), \theta (\lambda), \phi (\lambda) ]$ donde $\lambda$ es el parámetro a lo largo de la geodésica. Entonces los puntos obtenidos por un cambio en la coordenada t por una cantidad $\Delta$ estarán conectadas por una geodésica dada por $[t (\lambda) + \Delta , r(\lambda), \theta (\lambda), \phi (\lambda) ]$ . Esto no funcionará si su coordenada de tiempo no está adaptada al campo de Matanza.

El corrimiento al rojo gravitacional del que se habla en este contexto, es decir, el de un espaciotiempo estacionario, se refiere al tiempo ( propio) entre dos señales, que conectan dos observadores estacionarios, medido por cada uno de ellos. La relación entre esos dos intervalos de tiempo ( propios) ( el medido por el observador estacionario en A y el observador estacionario en B) viene dada por la expresión que has escrito. El cambio de coordenadas temporales que quieres considerar es aquel en el que las coordenadas ya no se adaptarán al campo de Killing ( es decir, el rasgo utilizado para caracterizar la invariancia de traslación temporal del espaciotiempo). En otras palabras, si realizas el cambio de coordenadas que propones, la métrica no será invariante bajo las traslaciones en la nueva coordenada t y la expresión para la relación entre los dos intervalos de tiempo propios se volverá mucho más complicada. Un punto importante es que el cambio de coordenadas que propones no sólo afectará a la componente "tt" de la métrica, sino también a las componentes "tr" y "rr".

Answer 2

Planteas buenos puntos, que a menudo no están claros en la pedagogía. De hecho, hay una gran diferencia entre las declaraciones:

• "en $r_0 \gg 2M$ , $\quad t$ es el momento adecuado", y
• "en cualquier caso $(t,r,\theta,\phi)$ , $\quad t$ es el tiempo propio en el infinito "ahora mismo".

Esto último es una afirmación sobre la simultaneidad global, por lo que depende de la definición o convención elegida. La primera es local, e inequívocamente correcta. Además de tu ejemplo, el "tiempo" de Eddington-Finkelstein y el de Gullstrand-Painleve coinciden con el de Schwarzschild $t$ como $r \rightarrow \infty$ pero globalmente son muy diferentes.

Hay una motivación puramente geométrica para $t$ . Esto se basa en el único campo vectorial de Killing que es semejante al tiempo y normalizado en el infinito, y que apunta al futuro en nuestra región del espaciotiempo. Esto es simplemente $\partial_t$ . Entonces las hipersuperficies $t = \textrm{const}$ son en todas partes ortogonales a este campo vectorial de Killing (nos atenemos a $r > 2M$ para este apartado). Por lo tanto, $t$ es el "tiempo en el infinito", con la adición de esta foliación estática o la elección de la simultaneidad. También los observadores únicos se definen por tener la velocidad 4 paralela al vector de Killing. Estos suelen llamarse estacionario observadores pero prefiero estático observadores que es más específico.

Su procedimiento, similar al de un radar, para obtener la $t$ -coordinación es correcta, creo. Se basa en la simetría temporal del espaciotiempo, y también en que $t$ respeta esta simetría. $|dt/dr|$ es el mismo para los fotones entrantes y salientes. Misner, Thorne y Wheeler $\S23.3$ tener una buena discusión. El factor de corrimiento al rojo se define como $V := \sqrt{g(\partial_t,\partial_t)}$ . Esto describe la dilatación del tiempo, el corrimiento al rojo de los fotones, etc., en comparación con las mediciones de varios estático observadores.