Cuántos $n$ las raíces lo hacen $0$ ¿tiene?

Question

¿Decimos que $0$ tiene $n$ $n$ ¿todas las raíces son indistintas, o sólo una?

No creo que haya ninguna diferencia, pero tengo curiosidad por saber cuál es la convención.

Answer 1

La terminología varía un poco entre personas y campos, pero lo que yo diría es que $x^n=0$ tiene una raíz (a saber $0$ ) de multiplicidad $n$ .

Si decimos explícitamente que contamos esa raíz "con multiplicidad", por supuesto, hay $n$ de ella.

Answer 2

Tantos como raíces de la ecuación polinómica $X^n=0$ Es decir, $n$ .

Answer 3

No hay, como es visible, ninguna convención universalmente acordada. Sin embargo, yo abogaría por considerar por un gran $n$ -raíces de un elemento $a$ (en alguna estructura) el cardinalidad del conjunto de soluciones de $X^n = a$ , por lo que en los números complejos y reales, y en cualquier otro campo, $0$ es la raíz única de $0$ .

La convención alternativa es discutiblemente conveniente sobre los números complejos, sin embargo, ya en los números reales la situación es menos clara (aunque todavía se podrían presentar argumentos razonables a su favor).

Sin embargo, las raíces también se consideran en otras estructuras.

• Raíces de la unidad, por lo que las raíces de $1$ en campos finitos juegan un papel importante, como por ejemplo los residuos cuadráticos; para el Símbolo de Legendre $0$ se trata por separado, lo que corresponde a la convención de que tiene una raíz cuadrada única módulo $p$ y normalmente cuando uno se pregunta por el número de raíces de la unidad en un campo finito se considera la cardinalidad del conjunto (ver un Pregunta de MO sobre ese tema ).

• Además, mirando más allá de los campos, la situación se vuelve aún más engorrosa para otros convenios. Por ejemplo, en $Z/4Z$ tenemos $0$ y $2$ como raíces cuadradas de $0$ . Debería $0$ ¿todavía se cuenta dos veces? ¿Debe $2$ también se cuenta dos veces, después de todo $(X+2)^2 = X^2$ ?

• Además, es habitual considerar las raíces de (ciertas) matrices. Hay una infinidad de reales $2 \times 2$ matrices cuyo cuadrado es el $0$ -matriz. Todas son raíces cuadradas de la $0$ -matriz, entre ellos se encuentra el $0$ -matriz propia.

En cada caso, parece que la cardinalidad del conjunto de soluciones tiene algún sentido, mientras que la asignación de multiplicidades se vuelve bastante más confusa (aunque puede que me pierda algo).