¿Cómo puedo demostrar que las unidades $u$ de $R=\mathbb Z[\sqrt{2}]$ con $u>1$ son $(1+ \sqrt{2})^{n}$ ?
He demostrado que las correctas son unidades porque su módulo es uno, y se me dice que lo haga por inducción sobre $b$ y la multiplicación por $-1+\sqrt{2}$ . Ya he demostrado que las unidades de este anillo tienen norma $1$ y todos los números con norma $1$ son unidades, esto puede ayudar.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que $a+b\sqrt{2}$ es una unidad si y sólo si $a^2-2b^2=\pm1$ . Utiliza esto para demostrar que si $b\neq 0$ puis $|b|\leq |a|< 2|b|$ .
Ahora nos limitamos primero a $a,b\geq 0$ y demostrar por inducción en $b$ .
Si $b=0$ puis $a=\pm 1$ y $u>0$ implica $a=1$ Así que $u=(1+\sqrt 2)^0$ .
Si $a,b>0$ y $a+b\sqrt{2}$ es una unidad, entonces $$(a+b\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) = (2b-a)+(a-b)\sqrt{2}$$ también es una unidad.
Como sabemos que $b\leq a< 2b$ y $b<a$ tenemos que $2b-a>0$ y $0<a-b<b$ así que por inducción:
$$(a+b\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) =(1+\sqrt{2})^n$$
Pero multiplicando ambos lados por $1+\sqrt{2}$ lo consigues:
$$a+b\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{n+1}$$
Entonces tienes que lidiar con el caso en el que uno de $a,b$ es negativo...
$a+b\sqrt(2)$ es una unidad si y sólo si $a^22b^2|a$ y $a^22b^2|b$ por qué esto implica $a^22b^2=±1$ ?
@Temitope.A Si $a+b\sqrt{2}$ es una unidad, demuestre que $a-b\sqrt{2}$ también es una unidad, por lo que $a^2-2b^2=(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})$ es una unidad. Pero los únicos elementos de $\mathbb Z$ que son unidades en $\mathbb Z[\sqrt{2}]$ son $\pm 1$
He aquí una prueba más sencilla que se basa únicamente en argumentos básicos de delimitación. Nótese que si $u$ es una unidad, entonces $u, 1/u, -u, -1/u$ también son unidades. Ahora bien, como una de ellas es mayor que $1$ basta con demostrar que si $u<1$ puis $u$ es una potencia de $1+\sqrt{2}$ . Es evidente que las potencias no negativas de $1+\sqrt{2}$ tienden monótonamente a $\infty$ a partir de $1$ por lo que podemos escribir $$(1+\sqrt{2})^k\le u <(1+\sqrt{2})^{k+1}$$ para algunos $k\in\mathbf{Z}^{+}\cup\{0\}$ . Dividiendo por $(1+\sqrt{2})^k$ rinde $$1\le u(1+\sqrt{2})^{-k}<1+\sqrt{2}.$$ Tenga en cuenta que $u(1+\sqrt{2})^{-k}\in\mathbf{Z}[\sqrt{2}]^{\times}$ y como $1+\sqrt{2}$ es la menor unidad mayor que $1$ Debemos tener $u(1+\sqrt{2})^{-k}=1\implies u=(1+\sqrt{2})^k$ . Debido a que la norma es multiplicativa, todas las potencias de $1+\sqrt{2}$ son unidades, así que hemos terminado.
Dejemos que $\eta$ sea una unidad en $\mathbb{Z[\sqrt2]}$ , digamos que de la forma $\eta = a + b \sqrt2$ que se supone que es mayor que $1.$ Entonces, como $N(\eta) = \pm 1$ tenemos $-1 < a - b\sqrt2< 1$ . Supongamos que $\eta < 1 + \sqrt2$ . Sumando las dos desigualdades se obtiene $0<2a<2+\sqrt2$ y como $a$ es un número entero, a debe ser 1. Tenemos una contradicción con $\eta < 1 + \sqrt2$ ya que no hay ningún número entero b que lo satisfaga.
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Ya que esto es equivalente a encontrar soluciones enteras de una ecuación de Pell específica $x²-2y²=1$ se podría hacer mediante el uso de la expansión de fracciones continuas de $\sqrt2$ . Además, esta cuestión también es equivalente a determinar el rango de un anillo de números cuadráticos peculiar, lo que debería implicar algunos cálculos cohomológicos y algo de teoría de géneros (¿o no?). En cualquier caso, no veo ninguna razón para no etiquetar la etiqueta de teoría de números...
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es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua Véase su teorema 3
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@awllower En realidad, es equivalente a encontrar soluciones a $x^2-2y^2=\pm 1$ . De hecho, $1+\sqrt{2}$ corresponde a una solución de este tipo para $x^2-2y^2=-1$
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@awllower, me gustaría leer sobre las relaciones que mencionas arriba. Me di cuenta de que ha sido 4 años, pero todavía aprecio si usted podría responder.