Nota: mi pregunta no se refiere a la aplicación de las derivadas para determinar los valores máximos y mínimos de una función; tampoco se trata de la aproximación lineal (aunque está relacionada con este tema); lo que me interesa es una posible definición alternativa de la derivada de una función
Si P y Q son dos puntos de la gráfica de $f(x)=x^2$ con $P=( x_0, f(x_0))$ y $Q = ( x_0 + \Delta x, f(x_0+\Delta x))$ el cambio en $y$ relacionados con el cambio de $x$ es :
$R = \frac {f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}= 2x+\Delta x$ .
Si me preguntan cuál es el valor de $f(3,1)$ sabiendo que el valor de $f(3)=9 $ Puedo utilizar la relación $R$ y escribir :
$f(3,1) = f(3)+ (\Delta x.R) = f(3) + (\Delta x .(2x+\Delta x))= f(3)+(\frac{1}{10}.((2\times 3)+\frac{1}{10}))= 9,61$ .
Ahora, si me preguntaran, no qué es $f(3,1)$ pero el mayor valor bajo el cual $f(3,1)$ no puede caer podría tomar el límite de $R$ como $\Delta x$ va a $0$ y decir que $f(3,1)$ no puede entrar en el valor :
$f(3)+(\Delta x . 2x)=9,6$ .
En otras palabras, aunque no consiga encontrar precisamente $f(3,1)$ Puedo predecir que debe ser mayor que $9,6$ .
Así que la derivada en $x_0=3$ me da el valor mínimo de la tasa $R= \frac{\Delta y}{\Delta x}$ en $3$ Es decir $6$ .
Mi pregunta es: (1) ¿es correcto considerar la derivada como un mínimo ( o máximo) no de la función f en sí, sino de la tasa $R$ (según la definición anterior)? (2) ¿cómo hacer rigurosa esta idea de mínimo/máximo? (3) ¿es la noción de supremum ¿se necesita aquí?
En resumen, ¿Existe una definición alternativa de la dervativa que incorpore estas nociones de máximo / mínimo / supremum?