¿Se puede interpretar la derivada de $f(x)=x^2$ como una forma de predecir un valor bajo el cual $f(x)$ no puede caer en un punto determinado? y $f'$ como tasa mínima?

Question

Nota: mi pregunta no se refiere a la aplicación de las derivadas para determinar los valores máximos y mínimos de una función; tampoco se trata de la aproximación lineal (aunque está relacionada con este tema); lo que me interesa es una posible definición alternativa de la derivada de una función

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Si P y Q son dos puntos de la gráfica de $f(x)=x^2$ con $P=( x_0, f(x_0))$ y $Q = ( x_0 + \Delta x, f(x_0+\Delta x))$ el cambio en $y$ relacionados con el cambio de $x$ es :

$R = \frac {f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}= 2x+\Delta x$ .

Si me preguntan cuál es el valor de $f(3,1)$ sabiendo que el valor de $f(3)=9$ Puedo utilizar la relación $R$ y escribir :

$f(3,1) = f(3)+ (\Delta x.R) = f(3) + (\Delta x .(2x+\Delta x))= f(3)+(\frac{1}{10}.((2\times 3)+\frac{1}{10}))= 9,61$ .

Ahora, si me preguntaran, no qué es $f(3,1)$ pero el mayor valor bajo el cual $f(3,1)$ no puede caer podría tomar el límite de $R$ como $\Delta x$ va a $0$ y decir que $f(3,1)$ no puede entrar en el valor :

$f(3)+(\Delta x . 2x)=9,6$ .

En otras palabras, aunque no consiga encontrar precisamente $f(3,1)$ Puedo predecir que debe ser mayor que $9,6$ .

Así que la derivada en $x_0=3$ me da el valor mínimo de la tasa $R= \frac{\Delta y}{\Delta x}$ en $3$ Es decir $6$ .

Mi pregunta es: (1) ¿es correcto considerar la derivada como un mínimo ( o máximo) no de la función f en sí, sino de la tasa $R$ (según la definición anterior)? (2) ¿cómo hacer rigurosa esta idea de mínimo/máximo? (3) ¿es la noción de supremum ¿se necesita aquí?

En resumen, ¿Existe una definición alternativa de la dervativa que incorpore estas nociones de máximo / mínimo / supremum?

Answer 1

Su premisa básica es errónea, me temo. La única razón por la que funciona aquí es que la derivada $f'(x)=2x$ es aumentando como $x$ aumenta. Si lo intentas con una función que tiene un disminuyendo derivado, no funciona. Por ejemplo, si $$f(x)=-x^2+12x-18$$ entonces tenemos $f(3)=9$ y $f'(3)=6$ como en su ejemplo; pero $f(3.1)=9.59$ que es menor que $9.6$ porque la derivada $f'(x)=-2x+12$ disminuye a medida que $x$ aumenta.

Answer 2

[Comentario promovido para responder a petición del OP]

El gráfico de $y=x^2$ se encuentra por encima de la línea tangente a la gráfica en $x=3$ (de hecho, en cada valor de $x$ ), por lo que su límite inferior para el crecimiento de la función sirve como la derivada de la función. Si la gráfica se encuentra por encima de la línea tangente (pero la función sigue siendo creciente), estarás buscando un límite superior para el crecimiento como la derivada. Y tienes que modificar todo si la función es decreciente. Y otra cosa es que la gráfica esté por encima de la recta tangente en una dirección y por debajo en la otra. Básicamente, hay que tener en cuenta la segunda derivada.