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La convergencia en la norma del operador no implica una convergencia uniforme, ¿ejemplos?

Estoy aprendiendo sobre el análisis funcional y la relación entre la convergencia de la norma del operador y la convergencia uniforme no está tan clara para mí. Creo que la convergencia uniforme implica la convergencia en norma de operador ya que si ϵN de manera que si n>N entonces ||Tn(x)T(x)||<ϵ x entonces sup pour n>N .

Si sólo tenemos convergencia en la norma, parece que no tenemos necesariamente convergencia uniforme, pero no puedo encontrar contraejemplos.

PD: había este pregunta sin una respuesta clara (al menos para mí).

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David C. Ullrich Puntos 13276

Lo siguiente debería permitir encontrar contraejemplos - también explica por qué la noción de convergencia uniforme no aparece en este contexto:

Ejercicio. Supongamos que U y V son espacios vectoriales normados y T_n:U\to V es lineal para n=1,2\dots . Si T_n\to T uniformemente entonces existe N tal que T_n=T para todos n>N .

Pista: ¿Qué hace ||T_n(cx)-T(cx)||<\epsilon te cuentan sobre ||T_n(x)-T(x)|| ?

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