La convergencia en la norma del operador no implica una convergencia uniforme, ¿ejemplos?

Question

Estoy aprendiendo sobre el análisis funcional y la relación entre la convergencia de la norma del operador y la convergencia uniforme no está tan clara para mí. Creo que la convergencia uniforme implica la convergencia en norma de operador ya que si $\forall \epsilon \exists N$ de manera que si $n>N$ entonces $||T_n(x)-T(x)|| < \epsilon$ $\forall x$ entonces $\sup_{||x|| \le 1} ||T_n(x)-T(x)|| < \epsilon$ pour $n>N$ .

Si sólo tenemos convergencia en la norma, parece que no tenemos necesariamente convergencia uniforme, pero no puedo encontrar contraejemplos.

PD: había este pregunta sin una respuesta clara (al menos para mí).

Answer 1

Lo siguiente debería permitir encontrar contraejemplos - también explica por qué la noción de convergencia uniforme no aparece en este contexto:

Ejercicio. Supongamos que $U$ y $V$ son espacios vectoriales normados y $T_n:U\to V$ es lineal para $n=1,2\dots$ . Si $T_n\to T$ uniformemente entonces existe $N$ tal que $T_n=T$ para todos $n>N$ .

Pista: ¿Qué hace $||T_n(cx)-T(cx)||<\epsilon$ te cuentan sobre $||T_n(x)-T(x)||$ ?