Demostrar que si $f$ es continua en un punto, entonces existe un intervalo alrededor de ese punto en el que su intersección con el dominio está acotada.

Question

Estoy trabajando en el libro Los números reales y el análisis real por Bloch. En la página 155,

Ejercicio 3.3.7. Dejemos que $A \subseteq \mathbb{R}$ sea un conjunto, y que $c \in A$ y que $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función. Demostrar que si $f$ es continua en $c$ entonces hay algo de $\delta > 0$ tal que tal que $f|A \cap (c - \delta, c + \delta)$ está acotado.

Yo diría que para arreglar cualquier $\epsilon > 0$ . Por continuidad de $f$ en $c$ , hay $\delta > 0$ tal que para cualquier $x \in A$ para lo cual $|x - c| < \delta$ tenemos $|f(x) - f(c)| < \epsilon$ . Ahora dejemos que $x \in A \cap (c - \delta, c + \delta)$ . Entonces tenemos que $x \in A$ y $c - \delta < x < c + \delta$ para que $-\delta < x - c < \delta$ y por lo tanto $|x - c| < \delta$ . Entonces $|f(x) - f(c)| < \epsilon$ Así que $- \epsilon + f(c) < f(x) < \epsilon + f(c)$ para cualquier $x$ . Dado que se trata de un $\epsilon$ y $c$ también es fijo, tenemos que $f|A \cap (c - \delta, c + \delta)$ está acotado por arriba y por abajo, y por tanto acotado.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Todo lo que necesitas es elegir un épsilon positivo, digamos $\epsilon = 1$ entonces hay un delta $\delta > 0$ tal que $|f(x) - f(c)| < \epsilon = 1$ si $0 < |x-c| < \delta\implies - 1 < f(x) - f(c) < 1 \implies -1 + f(c) < f(x) < 1 + f(c) \implies |f(x)| < 1 + |f(c)|= M$ que muestra $f$ está acotado.

Answer 2

Su prueba es correcta, aunque un poco verbosa. A menudo es bueno dar un límite explícito $|f(x)| \leq |f(c)|+\epsilon$ . No creo que sea necesario empezar con $x \in (c-\delta,c+\delta)$ y luego deducir que $|x-c|<\delta$ Es evidente.

Answer 3

De la definición

$A\subset \mathbb{R}, c\in A$

$\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0,\forall x\in A \quad |x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon$

Dejemos que $\varepsilon >0$ Por lo tanto, de acuerdo con la definición, hay $\delta >0$ como $\forall x\in (c-\delta, c+\delta)$ esta desigualdad ( $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$ ) se cumple.

entonces

$|f(x)-f(c)|<\varepsilon \iff f(c)-\varepsilon<f(x)<f(c)+\varepsilon$

$\implies f$ está acotado