Integral $\int_0^\infty dp \, \frac{p^5 \sin(p x) e^{-b p^2}}{p^4 + a^2}$ ¿Alguna idea ingeniosa?

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente integral, con $a>0,$ $b>0$ :

$I \equiv \int_0^\infty dp \, \frac{p^5 \sin(p x) e^{-b p^2}}{p^4 + a^2} $

Al ampliar el $\sin$ Me sale

$I = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \int_0^\infty dp \, \frac{p^{4+2n} e^{-b p^2}}{p^4 + a^2} \\ = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\Bigg\{ \frac{1}{2} b^{\frac{3}{2}-n} \Gamma (n-{3}/{2}) \, _1F_2\left(1;\frac{5}{4}-\frac{n}{2},\frac{7}{4}-\frac{n}{2};-\frac{1}{4} a^2 b^2\right) +\frac{1}{4} \pi a^{n-\frac{3}{2}} \left[\csc \left((2 \pi n+\pi )/4\right] \cos (a b) -\sec \left[ (2 \pi n+\pi )/4\right] \sin (a b)\right) \Bigg\}.$

Aquí $_1F_2$ es una función hipergeométrica. Se puede hacer el primer sumatorio, con lo que nos queda

$I= \frac{\pi}{2a} \left[\cos (a b) \cos (x\sqrt{a/2}) \sinh (x\sqrt{a/2})+\sin (a b) \sin (x\sqrt{a/2}) \cosh (x\sqrt{a/2})\right] + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \frac{1}{2} b^{\frac{3}{2}-n} \Gamma (n-{3}/{2}) \, _1F_2\left(1;\frac{5}{4}-\frac{n}{2},\frac{7}{4}-\frac{n}{2};-\frac{1}{4} a^2 b^2\right).$

No consigo encontrar una forma cerrada para el segundo sumatorio.

¿Hay una manera más fácil de resolver $I$ ? Es de suponer que se puede aplicar el teorema del residuo, pero no he encontrado una forma rápida. Cualquier idea será apreciada.

Answer 1

Sorprendentemente, esta integral puede resolverse en términos de funciones bien conocidas de la física matemática. Es fácil ver que $$I(a,b,x):=\int_0^\infty \frac{p^5\,\sin{(px)}}{p^4+a^2}\,e^{-b\,p^2} dp =\frac{1}{2} \frac{d}{db} \frac{d}{dx} \underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{p^2\,\cos{(px)}}{p^4+a^2}\,e^{-b\,p^2} dp}_{:=J(a,b,x)}.$$ No haré las derivadas, sino que presentaré la fórmula de $J(a,b,x).$ Dejemos que $c=x/\sqrt{4b}.$ Entonces $$ J(a,b,x)=\frac{\pi}{2}\sqrt{b}\,e^{-c^2}\,Re\Big[\frac{1}{\sqrt{i\,a\,b}} \Big( \exp{\big( (\sqrt{i\,a\,b} - c)^2 \big)} \, \text{erfc}\big(\sqrt{i\,a\,b} - c\big) + $$ $$+ \exp{\big( (\sqrt{i\,a\,b} + c)^2 \big)} \, \text{erfc}\big(\sqrt{i\,a\,b} + c\big) \Big)\Big] $$ La 'erfc' es la función de error complementaria. Mi prueba es larga y no es rigurosa, así que esperaremos unos días para ver si alguien presenta una prueba. Si no es así, puede que vuelva a ella. Sin embargo, he probado la integración numérica frente a la forma cerrada para un total de 1000 evaluaciones para 10 diferentes $a,\, b, \, x.$ Las diferencias fueron de 0 a la precisión de la máquina. Las pruebas fueron excesivamente positivas $a,\, b, \, x$ cada uno de 0,1 a 6,5 en incrementos de 0,6.

Answer 2

Tenemos $$\frac {p^5 e^{-b p^2} \sin x p} {p^4 + a^2} = p e^{-b p^2} \sin x p \left( 1 + \frac {i a} {2 (p^2 - i a)} - \frac {i a } {2 (p^2 + i a)} \right), \\ \frac d {db} \left( e^{i a b} \int_0^\infty \frac {p e^{-b p^2} \sin x p} {p^2 - i a} dp \right) = -e^{i a b} \int_0^\infty p e^{-b p^2} \sin x p \,dp,$$ y, después de algunos cálculos, $$\int_0^\infty \frac {p^5 e^{-b p^2} \sin x p} {p^4 + a^2} dp = F(a) + F(-a) + \frac {\sqrt \pi x e^{-x^2/(4 b)}} {4 b^{3/2}}, \\ F(a) = \frac {i \pi a e^{i a b}} 8 \left( e^{x \sqrt {i a}} \operatorname{erfc} \frac { 2 b \sqrt{i a} + x} {2 \sqrt b} - e^{-x \sqrt {i a}} \operatorname{erfc} \frac { 2 b \sqrt{i a} - x} {2 \sqrt b} \right).$$