Me gustaría calcular $H_i(S^1\times S^n;\mathbb{Z})$ para $i\geq3$ . Creo que un enfoque es utilizar la secuencia Mayer-Vietoris.
Si tomamos la cubierta admisible formada por $S^1\times S^n\setminus\{N\}\cong S^1\times D^n \cong S^1$ y $S^1\times S^n\setminus\{S\}\cong S^1$ entonces tenemos $$\dots\to H_i(U)\oplus H_i(V)\to H_i(S^1\times S^n)\to H_{i-1}(S^1\times S^{n-1})\to H_{i-1}(U)\oplus H_{i-1}(V)\to\dots $$ Desde $(S^1\times S^n\setminus\{N\})\cap (S^1\times S^n\setminus\{S\})\cong S^1\times (S^n\setminus\{N\}\cap S^n\setminus\{S\})\cong S^1 \times S^{n-1}$ . Entonces obtenemos una secuencia de isomorfismos $$H_i(S^1\times S^n;\mathbb{Z})\cong H_{i-1}(S^1\times S^{n-1};\mathbb{Z})$$ para $i\geq 3$ . Tenemos para $n\geq 3$ $$H_n(S^1\times S^n;\mathbb{Z})\cong H_{2}(S^1\times S^{2};\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$$ y $$H_{n+1}(S^1\times S^n;\mathbb{Z})\cong H_{2}(S^1\times S^{1};\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}.$$ Ahora mirando la estructura CW de $S^1\times S^n$ tenemos que para $2\leq i<n $ y $n+1<i$ , $$ H_i(S^1 \times S^n)\cong0. $$ Ahora, dado que $n\geq 3$ La estructura celular tiene el siguiente aspecto $$ \dots \to 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\to0\dots 0\to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $$ La inclusión de $S^1$ en $S^1\times \{*\}\subset S^1\times S^n$ induce un mapa de cadenas del complejo de cadenas celulares de $S^1$ a $S^1\times S^n$ . El diferencial $\partial_1$ del complejo de la cadena celular es trivial ya que $H_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ . Así que de manera similar $H_1(S^1\times S^n)\cong\mathbb{Z}$ . Así que tenemos $$ H_i(S^1\times S^n ; \mathbb{Z})=\begin{cases} \mathbb{Z} & i=0,1,n,n+1\\ 0 & \text{otheriwise} \end{cases} $$
Ahora no puedo verificar si estoy en lo cierto ya que no encontré ninguna fuente bibliográfica. ¿Hay alguna solución más directa para este problema?
