Distribución posterior conjunta de las diferencias

Question

Tengo datos $x_1,...,x_n$ , $y_1,...,y_m$ y $z_1,...,z_p$ donde $$x_1,...,x_n\sim N(\mu_x,\sigma^2_x)$$ y $$y_1,...,y_m\sim N(\mu_y,\sigma^2_y)$$ y $$z_1,...,z_p\sim N(\mu_z,\sigma^2_z)$$

Ahora supongamos que quiero adoptar un enfoque bayesiano y colocar los siguientes priores: $p(\mu_x,\sigma^2_x)\propto (\sigma^2_x)^{-1}$ , $p(\mu_y,\sigma^2_y)\propto (\sigma^2_y)^{-1}$ y $p(\mu_z,\sigma^2_z)\propto (\sigma^2_z)^{-1}$ . Dados estos priores, sé cuál es la distribución posterior, pero lo más importante es que sé que las distribuciones marginales condicionales son

$$\mu_x|\sigma^2_x,x_1,...,x_n\sim N(\bar{x},\sigma^2_x/n)$$ y $$\mu_y|\sigma^2_y, y_1,...,y_m\sim N(\bar{y},\sigma^2_y/m)$$ y $$\mu_z|\sigma^2_z,z_1,...,z_n\sim N(\bar{z},\sigma^2_z/p)$$

donde $\bar x$ es la media de los $x$ 's. Del mismo modo, para el caso del $y$ y $z$ 's.

Estoy interesado en derivar la distribución conjunta de $\mu_x-\mu_y$ , $\mu_y-\mu_z$ , $\mu_y-\mu_z$ . ¿Tiene sentido el siguiente planteamiento?

Sabemos que la distribución posterior condicional de $\mu_x$ es $$p(\mu_x|\sigma^2_x,x_1,...,x_n) = N\left(\bar x, \frac{\sigma^2_x}{n}\right)$$

y de forma similar para $p(\mu_y|\sigma^2_y,y_1,...,y_m)$ y $p(\mu_z|\sigma^2_z,z_1,...,z_p)$ .

Ahora, define \begin{align} \Delta := \begin{bmatrix} \delta_{xy}\\\\ \delta_{xz}\\\\ \delta_{yz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_x-\mu_y\\\\ \mu_x - \mu_z\\\\ \mu_y - \mu_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mu_x\\\\ \mu_y\\\\ \mu_z \N - fin{bmatrix} =: A\mu, \N - fin {align} entonces tenemos que $$\Delta|\sigma^2_x,\sigma^2_y,\sigma^2_z, x_1,...,x_n, y_1,...,y_m, z_1,...,z_p \sim N_3\left(A \mathbb{E}(\mu), A\mathbb{C}\text{ov}(\mu)A^T\right)$$ donde \begin{align*} \mathbb{E}(\mu) = \begin{bmatrix} \bar{x}\\\\ \bar{y}\\\\ \bar{z} \end{bmatrix} \text{ y } \mathbb{C}\text{ov}(\mu) = \begin{bmatrix} \sigma^2_x/n & 0 & 0 \\\\ 0 & \sigma^2_y/m & 0 \\\\ 0 & 0 & \sigma^2_z/p \end{bmatrix} . \Fin

Así que mis últimas preguntas son las siguientes:

1. ¿La distribución anterior para $\Delta$ sea la distribución posterior condicional conjunta correcta de las diferencias?

2. Y si es así, ¿la estrategia adecuada para obtener muestras posteriores de $\Delta$ ser a las primeras muestras $\sigma^2_x, \sigma^2_y,$ y $\sigma^2_z$ de su distribución posterior conjunta?

3. Y si es así para el número 2) ¿la distribución posterior conjunta de $\sigma^2_x, \sigma^2_y,$ y $\sigma^2_z$ ¿tiene una forma cerrada?

Answer 1

1. El análisis condicional es correcto (asumiendo la independencia condicional posterior entre $\mu_x,\mu_y,\mu_z$ ), como ya se indicó en el respuesta a su pregunta anterior ¡!

2. Simulación de $σ_x$ , $σ_y$ y $σ_z$ de su distribución posterior conjunta (marginal), entonces $\mu_x,\mu_y,\mu_z$ de la posterior condicional correspondiente es correcta. Sin embargo, si la simulación a partir de la posterior (marginal) resulta compleja, puede ser preferible un enfoque de muestreo de Gibbs. Pero...

3. ...desde $$\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left\{-\left[n(\bar x_n-\mu_x)^2+\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x_n)^2\right]\big/2\sigma^2_x\right\}\,\frac{\text d\mu_x}{\sigma_x^{n+2}}\\\propto\exp\left\{-\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x_n)^2\big/2\sigma^2_x\right\}\sigma_x^{-n-1}$$ y las formas cerradas equivalentes para $σ^2_y$ y $σ^2_z$ la posterioridad marginal de $(\sigma^2_x,\sigma^2_y,\sigma^2_z)$ está disponible.