Cómo probar $\exp(\log x)=x$ en $\mathbb{Q}_p$

Question

$\mathbb{Q}_p$ es el $p$ -Cumplimiento de los requisitos de $\mathbb{Q}$ . Definimos:
$$\text{exp}(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ $$\text{log}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n(-1)^{(n-1)}}{n}$$

Entonces, ¿cómo demostrar que $\exp(\log(x))=\log(\exp(x))=x$ en el ámbito de la convergencia?

Answer 1

Las relaciones son fáciles de ver; hay que tener cuidado con la región de convergencia de las funciones. Por ejemplo, la $p$ -función exponencial adicativa $\exp_p$ converge en el disco $$ D_p=\{x\in \mathbb{Q}_p\mid |x|_p <p^{-1/(p-1)}\} $$ El tenemos el siguiente resultado:

Propuesta : Los mapas $\exp_p\colon D_p\rightarrow 1+D_p$ y $\log_p:1+D_p\rightarrow D_p$ son inversos entre sí, es decir, tenemos $$ \log_p(\exp_p(x))=x,\; \exp_p(\log_p(1+x))=1+x. $$ Prueba: Considerando la serie de potencias formal correspondiente, sabemos que las relaciones dadas aquí se mantienen. Por lo tanto, lo único que tenemos que es que todas las series de potencias implicadas convergen. Esto se comprueba fácilmente. Tenemos $$ |\exp_p(x)-1|_p\le |x|_p,\; |\log_p(1+x)|_p\le |x|_p. $$