Espacio de configuración de discos pequeños dentro de un disco grande

Question

El espacio de configuraciones de $k$ puntos distintos en el plano $$F(\mathbb{R}^2,k)=\lbrace(z_1,\ldots , z_k)\mid z_i\in \mathbb{R}^2, i\neq j\implies z_i\neq z_j\rbrace$$ es un objeto bien estudiado desde varios puntos de vista. Las trayectorias en este espacio corresponden a los movimientos de un conjunto de partículas puntuales que se desplazan evitando colisiones, y su grupo fundamental es el grupo de trenzas puras. No es difícil demostrar que este espacio es equivalente en homotopía al espacio de configuración del disco unitario $$F(D^2,k)=\lbrace(z_1,\ldots , z_k)\mid z_i\in D^2, i\neq j\implies z_i\neq z_j\rbrace$$

Sin embargo, en la vida real, las partículas, o cualquier otro objeto que se mueva en un dominio delimitado sin ocupar el mismo espacio, tienen un radio positivo, por lo que sería más realista modelarlas con discos en lugar de puntos. Esto motiva el estudio de los espacios $$F(D^2,k;r)= \lbrace(z_1,\ldots , z_k)\mid z_i\in D^2, i\neq j\implies |z_i - z_j|>r\rbrace$$ donde $r>0$ . El tipo de homotopía de este espacio es una función de $r$ y $k$ . Fijación de $k$ y variando $r$ da un espectro (¿es ésta la palabra correcta?) de tipos de homotopía entre $F(\mathbb{R}^2,k)$ y el espacio vacío. Parece un problema interesante (y difícil) estudiar las invariantes de homotopía como funciones de $r$ . Por ejemplo, para $k=3$ qué es $\beta_1(r)$ el primer número de Betti de $F(D^2,k;r)$ ?

Pregunta: ¿Se han estudiado antes estos espacios y sus invariantes de homotopía? Si es así, ¿dónde?

Por supuesto, también se puede hacer la misma pregunta con discos de dimensiones arbitrarias.

Answer 1

Tengo una serie de resultados sobre discos duros en varios tipos de regiones, y los preprints están en curso. La terminología "esferas duras" (o "discos duros" en dimensión 2) procede de la mecánica estadística, y creo que Fred Cohen está siguiendo mi ejemplo en este sentido. (Véase, por ejemplo, la sección sobre discos duros de la obra de Persi Diaconis artículo de la encuesta .)

--- Con Gunnar Carlsson y Jackson Gorham, hicimos experimentos numéricos y calculamos el número de componentes de la trayectoria para 5 discos en una caja, al variar el radio sobre todos los valores posibles. Esto ya es bastante complicado, ya que el número no es monótono o incluso unimodal en el radio. (Esta preimpresión está casi terminada, una copia aproximada está disponible a petición).

--- Con Yuliy Baryshnikov y Peter Bubenik desarrollamos un marco general de la teoría Morse y demostramos que en un cuadrado, si $r < 1/2n$ entonces el espacio de configuración de $n$ discos de radio $r$ es equivalente en homotopía a $n$ puntos en el plano. Por otro lado, esto es muy ajustado: si $r> 1/2n$ entonces el mapa de inclusión natural no es una equivalencia homotópica. (De nuevo, este preprint está a punto de ser publicado en el arXiv...) Hay una declaración mucho más general aquí.

--- También tengo algunos resultados con Bob MacPherson sobre discos duros en un cuadrado y también en (el caso más fácil de) una tira infinita. Últimamente hemos hablado un poco con Fred Cohen sobre esto, que cree que puede haber conexiones con espacios de configuración más clásicos.

Me da un poco de reparo afirmar resultados aquí, sin haber publicado antes los preprints en el arXiv, pero sólo quería afirmar que ahora se saben varias cosas, y estoy trabajando duro para que todo se escriba a tiempo. Mientras tanto, tengo algunos se desliza hacia arriba de una charla que di recientemente en UPenn.

He aquí un ejemplo concreto, ya que puede ser más satisfactorio.

Resulta que para $3$ discos en un cuadrado de la unidad:

Para $0.25433 < r$ el espacio de configuración está vacío,

para $0.25000 < r < 0.25433$ es equivalente en homotopía a $24$ puntos,

para $ 0.20711 < r < 0.25000$ es equivalente en homotopía a $2$ círculos,

para $ 0.16667 < r < 0.20711 $ es equivalente en homotopía a una cuña de $13$ círculos, y

para $ r < 0.16667$ es equivalente en homotopía al espacio de configuración de $3$ puntos en el plano.

Para $4$ discos en un cuadrado parece que la topología cambia $9$ o $10$ veces, y para $5$ discos parece que la topología podría cambiar $25$ - $30$ veces o más. La idea general es que ciertos tipos de configuraciones "atascadas" actúan como puntos críticos de una función Morse, y marcan los únicos lugares en los que la topología puede tener un azar.

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Actualización: se han publicado dos preprints en el arXiv.

Teoría de Morse de tipo mínimo para espacios de configuración de esferas duras (Baryshnikov, Bubenik, Kahle):
http://arxiv.org/abs/1108.3061

Topología computacional para espacios de configuración de discos duros ( Carlsson, Gorham, Kahle y Mason): http://arxiv.org/abs/1108.5719

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Actualización (enero de 2022): Han pasado muchas cosas en los últimos dos años. Aquí hay más preprints que se han publicado recientemente en el arXiv.

Espacios de configuración de discos en una franja infinita (Alpert, Kahle, MacPherson) https://arxiv.org/abs/1908.04241

Espacios de configuración de discos en una franja, álgebras retorcidas, persistencia y otras historias (Alpert y Manin) https://arxiv.org/abs/2107.04574

Homología de espacios de configuración de cuadrados duros en un rectángulo (Alpert, Bauer, Kahle, MacPherson, Spendlove) https://arxiv.org/abs/2010.14480

Answer 2

Sí, Fred Cohen (Universidad de Rochester, actualmente en el IAS) ha trabajado mucho sobre el tema. Ha dado charlas sobre este tema (lo llama el modelo de la esfera dura), pero no he podido encontrar un documento o preimpresión relevante. Quizá puedas ponerte en contacto con él directamente. EDITAR De alguna manera he conseguido confundir el trabajo de Cohen y el de Matt Kahle (si conoces a ambos, sabes lo impresionante que es esa hazaña). La respuesta de Matt es la verdadera sabiduría recibida.

Answer 3

Agradecería mucho una buena respuesta a esta pregunta, quizás una continuación de la respuesta de Igor, ya que es algo en lo que he pensado antes, pero que no he encontrado en la literatura.

Rápidamente (quizás demasiado rápido) abandoné el modelo de los discos en favor del modelo de los cubitos, o quizás debería decir el modelo de los cubos duros.

Para los cubos 2 duros y k=3 creo que los grupos de homología son:

para r > 1/2: claramente 0

para 1/2 >= r > 1/3: H_0 = Z^6, H_1=Z^6 y H_i=0 para i>1

los tres cuadrados están dispuestos efectivamente en un círculo que puede girarse, el orden (¡y no sólo el orden cíclico!) parametriza los 6 componentes conectados.

para 1/3 >= r obtenemos el espacio de configuración habitual: H_0 = Z, H_1 = Z^3, H_2 = Z^2 y H_i=0 para i>2.