Supongamos la siguiente situación. Quiero evaluar la derivada de una función para la que tengo una serie de potencias. En principio esto es bien conocido: basta con insertar las derivadas en cada coeficiente: $$ S(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot x^k \to S(x)' = \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot a_{k+1} \cdot x^k $$ y evaluar. Hasta ahora, todo va bien.
El radio de convergencia de la serie de potencias es pequeño, pero afortunadamente puedo reexpresarlo como $$ S(x) = x_0-x_1+x_2-\ldots - x_{m-1}+\sum_{k=0}^\infty a_k \cdot x_m^k $$ y no sé, cómo reflejo el liderazgo $x_k$ en la derivada. Es con una función de transferencia $f(x)=b^x-1$ que $$x_1=b^x-1,x_2=b^{x_1}-1,\ldots x_m=b^{x_{m-1}}-1$$ tal que $x_m$ está en el radio de la serie de potencias para $S(x)$ . Así que mi pregunta es cómo incluir esos términos principales en la fórmula de la derivada.
¿Es simplemente escribir la derivada $$ S(x)' = f'(t)_{|t=x} - f'(t)_{|t=x_1} + \ldots - f'(t)_{|t=x_{m-1}} + \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot a_{k+1} \cdot x_m^k \qquad \text{???}$$ pero esto es sólo una suposición...
