Cómo dibujar el retrato de fase cerca del punto crítico en el origen.

Question

Un sistema lineal y su solución general.

$dx/dt$ = $6x - 2y$

$dy/dt$ = $4x + 2y$

Tiene una solución general de esto:

$$\begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = A\begin{bmatrix} cos(2t) \\ cos(2t)+sin(2t) \end{bmatrix} e^{4t} + B\begin{bmatrix} sin(2t) \\ sin(2t) - cos(2t) \end{bmatrix}e^{4t}$$

Dibuje el retrato de fase cerca del punto crítico en el origen. Discute el tipo y la estabilidad del punto crítico.

No sé cómo enfocar esto ya que estoy acostumbrado a dibujar en los 2 vectores propios y averiguar si se enfrentan hacia adentro o hacia afuera contra el origen. Luego dibujaría las órbitas. ¿Cómo hago esto?

Answer 1

Aquí hay un retrato de fase para este sistema.

• ¿Qué notas en los campos de dirección?
• ¿Qué le dicen sus valores propios sobre la estabilidad?
• ¿Qué ocurre con las curvas de solución a medida que $t$ está aumentando?

Actualización

Busquemos el punto crítico, es decir, donde $x'$ y $y'$ son simultáneamente iguales a cero.

Lo tenemos:

• $6x - 2y = 0$
• $4x + 2y = 0$

Esto lleva a un único punto crítico en $(0,0)$ .

A continuación, los valores propios de este sistema son:

$$\lambda_{1,2} = 4 \pm 2i$$

Como tenemos conjugados complejos, con parte real positiva, se trata de espirales inestables y eso es lo que nos dice el retrato de fase. Aquí tenemos una práctica referencia de estabilidad clasificar los valores propios.

Por lo tanto, tenemos que aprender a hacer tres cosas, encontrar los valores propios, encontrar los puntos críticos y dibujar los retratos de fase.

A continuación, mire su $x(t)$ y $y(t)$ resultado. ¿Qué nota como $t$ ¿aumenta? Ahora, ¿qué pasa si se traza $x(t)$ frente a $y(t)$ ? Se obtiene el retrato de fase que muestra que como $t$ aumenta, se obtienen direcciones que dejan el punto crítico en el infinito y esto es inestable.