Cómo mostrar sin calculadora que $\left\lfloor\, \log_{10}{999^{999}}\right\rfloor =\left\lfloor\, \log_{10}{999^{999}}+\log_{10}2\right\rfloor$

Question

Por wolfram alpha, obtengo

$\left\lfloor\, \log_{10}{999^{999}}\right\rfloor =\left\lfloor\, \log_{10}{999^{999}}+\log_{10}2\right\rfloor=2996$ .

Cómo demostrar que $\left\lfloor\, \log_{10}{999^{999}}\right\rfloor =\left\lfloor\, \log_{10}{999^{999}}+\log_{10}2\right\rfloor$ ¿sin calculadora o wolfram alpha?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Pruébalo:

$$\log_{10}999^{999}+\log_{10}2<\log_{10}1000^{999}=2997$$

En otras palabras:

$$\log_{10}2<\log_{10}1000^{999}-\log_{10}999^{999}=\log_{10}\left(\frac{1000}{999}\right)^{999}$$

Así que..:

$$2<\left(\frac{1000}{999}\right)^{999}=\left(1+\frac{1}{999}\right)^{999}$$

Es cierto por La desigualdad de Bernoulli .

A continuación debemos probar $3 \cdot 999-1=2996<\log_{10}999^{999}$ . Es igual:

$$3-\frac{1}{999}<\log_{10}999$$

o:

$$10^{3-\frac{1}{999}}=1000 \cdot 10^{-\frac{1}{999}}<999$$

$$10^{-\frac{1}{999}}<\frac{999}{1000}=\left(1-\frac{1}{1000}\right)$$

$$10^{-1}<\left(1-\frac{1}{1000}\right)^{999}$$

También es cierto por la desigualdad de Bernoulli.