Demostrar que $P_{S_N}(t) = P_N(P_X(t))$ para $S_N = X_1 + \cdots + X_N$ .

Question

Dejemos que $N$ y $(X_i)_{(i \ge 1)}$ sean variables aleatorias independientes ( $X_i$ tienen la misma densidad). Sea $S_N = X_1 + \cdots + X_N$ . Demostrar que $P_{S_N}(t) = P_N(P_X(t))$ donde $$P_X(t) = E(t^X) = \sum_{k=0}^\infty t^x \Pr(X=k) $$ es una función generadora de probabilidades. Tengo esta prueba en mi universidad, pero no puedo entenderla.

$$P_{S_N}(t) = E(t^{S_N}) \stackrel{(1)}{=} \\ \sum_{n=0}^\infty E(t^{S_N}\mid N=n) \Pr(N=n) \stackrel{(2)}{=} \\ \sum_{n=0}^{ \infty } E(t^{S_n}) \Pr(N=n) \\ \sum_{n=0}^\infty P_{X_1 + \cdots + X_n}(t) \Pr(N=n)= \\ \sum_{n=0}^\infty [P_X(t)]^n \Pr(N=n) = \\P_N(P_X(t)) $$

No entiendo la igualdad $(1)$ y $(2)$ . ¿Podría explicarme eso? Le agradeceré su ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

$\newcommand{\E}{\mathbb E}$

La identidad etiquetada $(1)$ en su pregunta es una instancia de la identidad $$ \E(Y) = \sum_x \E(Y \mid X=x) \Pr(X=x). $$ Esto se suele escribir como $$ \E(Y) = \E(\E(Y\mid X)) $$ y a veces se denomina "ley de la expectativa total" (con la salvedad de que la ley de la expectativa total se aplica no sólo en el caso discreto, sino de forma más general).

$$ \begin{align} \E(Y) & = \sum_y y\Pr(Y=y) \\ & = \sum_y \left(y \sum_x \Pr(Y=y\ \&\ X=x) \right) \\ & = \sum_y \left( y \sum_x \Pr(Y=y\mid X=x)\Pr(X=x) \right) \\ & = \sum_x \sum_y \left( y \Pr(Y=y\mid X=x)\Pr(X=x) \right) \\ & = \sum_x \left(\Pr(X=x)\sum_y y\Pr(Y=y\mid X=x)\right) \tag{$\star$} \\ & = \sum_x \left(\Pr(X=x)\cdot\E(Y\mid X=x)\right). \end{align} $$ El " $=$ " en $(\star)$ es cierto porque el factor $\Pr(X=x)$ no cambia como $y$ cambios, recorriendo la lista de todos los valores posibles de la variable aleatoria $Y$ .

La expresión que sigue a su paso $(2)$ sería correcto si el superíndice fuera $S_n$ en lugar de $S_N$ ya que $\E(t^{S_N}\mid N=n)=\E(t^{S_n})$ .

Posdata del 6/11 en respuesta a un comentario de abajo:

\begin{align} \E(t^{S_N}\mid N=n) & = \sum_s t^s \Pr(S_N=s\mid N=n) \\[8pt] & = \sum_s t^s \frac{\Pr(S_N=s\ \&\ N=n)}{\Pr(N=n)} \\[8pt] & = \sum_s t^s \frac{\Pr(S_n=s)\cdot\Pr(N=n)}{\Pr(N=n)} \\[8pt] & = \sum_s t^s \Pr(S_n=s) \\[8pt] & = \E(s^{S_n}). \end{align}