Evaluar : $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{0}\frac{dxdy}{1+x^2+y^2}$

Question

Cómo evaluar $\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{0}\frac{dxdy}{1+x^2+y^2}$

Estos son mis pasos :

$\displaystyle\begin{align*}\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{0}\frac{dxdy}{1+x^2+y^2}&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{0}\frac{r}{1+r^2}drd\theta\end{align*}$

¿Es eso cierto?

Answer 1

Observa que el dominio es la mitad del círculo $x^2+y^2=1$ a la izquierda del eje y y hacer una transformación a coordenadas polares

$$\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-y^2}}^0 \frac{dxdy}{1+x^2+y^2}= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \int_0^1 \frac{rdrd\theta}{1 + r^2}= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} d\theta \int_0^1 \frac{rdr}{1+r^2}= \pi \int_0^1 \frac{rdr}{1+r^2} $$

De la sustitución trigonométrica $$ \pi \frac{1}{2} \ln(r^2+1)|_0^1=\frac{\pi}{2}\ln2 $$

Answer 2

Sugerencia: cambiar a coordenadas polares.