Motivación para introducir los productos tensoriales

Question

Tengo que exponer lo que es el producto tensorial de módulo, así que me pregunto por una motivación para introducir las definiciones y todos los teoremas respectivos. Por ejemplo, (remarcar que estoy empezando con el concepto) ¿Hay algún ejemplo de cómo puedo describir un conjunto (mejor si es un grupo) de formas bilineales, es decir, utilizando la caracterización en R-homorfismo, tal vez puedo decir que este grupo de formas bilineales es isomorfo a un grupo específico... o algo así

Answer 1

El producto tensorial tiene varias motivaciones:

• El functor "espacio vectorial libre" $\mathsf{Set}\to\mathsf{Vect}$ es monoidal con respecto a la unión disjunta $\bigsqcup$ y sumas directas $\bigoplus$ . También es monoidal con respecto a $\prod$ y ... productos tensoriales $\bigotimes$ .
• En la teoría cuántica, un espacio vectorial puede tener una base distinguida de "estados puros", en cuyo caso las combinaciones lineales de ellos son superposiciones de estados puros. Para obtener el espacio vectorial asociado a un sistema físico compuesto necesitamos una base de estados puros que sean pares de estados puros de los dos sistemas originales.
• Digamos que queremos pegamento a las álgebras juntas, como $k[x]$ y $k[y]$ pueden ser "pegados" para obtener $k[x,y]$ . Esto se consigue con el tensado: $k[x]\otimes_k k[y]\cong k[x,y]$ .
• Podemos ampliar los escalares de forma similar, pegando un anillo "más grande" a un módulo, como en el $R$ -Módulo $M$ se convierte en el $S$ -Módulo $S\otimes_R M$ , donde $R$ es un subring de $S$ .
• Su propiedad universal el espacio de los mapas bilineales $A\times B\to C$ es naturalmente isomorfo al espacio hom $\hom(A\otimes B,C)$ . Esto se generaliza a los mapas multilineales.
• El adjunto tensor-homológico $\hom(A,\hom(B,C))\cong \hom(A\otimes B,C)$ que en realidad es una versión linealizada del "currying" (de la categoría $\mathsf{Set}$ a la categoría $\mathsf{Vect}$ ); de hecho, el functor de espacio vectorial libre convierte la identidad de currificación en la adjunción tensor-hom. Un hecho relacionado es $\hom(A,B)\cong A^{\ast}\otimes B$ .

Todos los puntos anteriores pueden generalizarse de una u otra manera. Por ejemplo, también existe un functor libre de la categoría de $G$ -a la categoría de representaciones de $G$ sobre un campo $k$ que no es más que el functor de espacio vectorial libre $\mathsf{Set}\to\mathsf{Vect}$ cuando $G$ es trivial.

Parece que en su pregunta se refiere a la propiedad universal.