¿Por qué esta distribución posterior no está bien definida cuando $X=0$ ?

Question

Acabo de enterarme de las distribuciones previas inadecuadas:

Def: Una distribución a priori con densidad $f_\Theta$ satisfaciendo $$\int f_\Theta(\theta) d\theta = \infty$$

se llama una distribución a priori impropia.

El hecho de que los priores impropios sólo pueden ser utilizados mientras la posterior sea apropiada, se ilustra con el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Supongamos que $X\sim\operatorname{Bin}(n,\theta)$ y utilizamos la previa impropia $f_\Theta(\theta) = \dfrac{1}{\theta(1-\theta)}$ . De ello se desprende que $$f_{\Theta|X}(\theta|x)\propto\dfrac{1}{\theta(1-\theta)}\theta^x(1-\theta)^{n-x} = \theta^{x-1}(1-\theta)^{n-x-1}.$$ Claramente, $\theta\mapsto f_{\Theta|X}(\theta|0)$ no es integrable. Por lo tanto, no hay un posterior bien definido cuando $X=0$ .

Pregunta: ¿Por qué está tan claro que $\theta\mapsto f_{\Theta|X}(\theta|0)$ no es integrable, y por qué la notación $\mapsto$ ¿se utiliza aquí? Además, ¿por qué $\displaystyle\int\dfrac{1}{\theta(1-\theta)}d\theta$ ¿Insuficiente? $\displaystyle\int\dfrac{1}{\theta(1-\theta)}d\theta = \log(\theta) - \log(1-\theta)+c$ y $\theta\in[0,1]$ por lo tanto, ¿por qué esto sería igual a $\infty$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Cuando $X=0$ tenemos $f_{\Theta|X}(\theta|0)=\theta^{-1}(1-\theta)^{n-1}$ .

Una integral de la forma $\int_0^1 t^a (1-t)^b dt$ no converge si $a$ o $b$ son negativos. ¿Por qué es así? Se trata de una cuestión de cálculo que tal vez debería publicarse como pregunta propia (a la que tendrá que responder otra persona que no sea yo), pero tal vez lo siguiente haga que parezca menos misterioso.

Usted pregunta, ¿por qué es $\int_0^1 \frac 1{\theta(1-\theta)}d\theta$ ¿Insuficiente? Al proporcionar la integral indefinida, usted mismo proporciona la mayor parte de la respuesta:

\begin{align*} \int_0^1 \frac 1{\theta(1-\theta)}d\theta &= \left[log(\theta)-log(1-\theta)\right]_0^1\\ &= (log(1)-log(0)) - (log (0) - log(1))\\ &= (\infty) - (-\infty)\\ &= \infty \end{align*}

En cuanto a tu pregunta sobre la notación, no he encontrado ese uso de $\mapsto$ antes tampoco; pero por el contexto parece claro que lo que quieren decir es algo así como "bajo la distribución". Es decir, $``\theta\mapsto f_{\Theta|X}(\theta|0)"$ parece equivalente a " $\theta \sim f_{\Theta|X}(\theta|0)$ ", que a su vez puede leerse como " $\theta$ distribuido bajo el pdf $f_{\Theta|X}(\theta|0)$ ".