Independencia de ser un número entero

Question

En esta pregunta del modus operandi En el caso de la pregunta, el OP pedía un ejemplo de una afirmación que se supiera que no era independiente de la ZFC, pero cuyo valor de verdad fuera desconocido. Inmediatamente pensé en una pregunta que hice en math.SE : es $e^{e^{e^{79}}}$ ¿un número entero? Esto es aparentemente una pregunta abierta, pero me he dado cuenta después de pensar que no sé cómo demostrar que es decidible en ZFC.

Si el número no es un entero, esto puede demostrarse en ZFC, porque ese hecho podría expresarse mediante una sentencia aritmética que diga que hay un entero $n$ tal que la suma de una determinada serie definible es mayor que $n$ y menos de $n+1$ . Esta frase puede ser vista como $\Sigma^0_1$ mediante técnicas estándar, y cualquier $\Sigma^0_1$ es demostrable en ZFC.

Pero si la suma es un número entero, no parece obvio que esto deba ser demostrable en ZFC. En general, sólo $\Sigma^0_1$ Las afirmaciones tienen que ser demostrables si son verdaderas, y la afirmación de que una determinada serie definible suma un número entero es $\Sigma^0_2$ en lugar de $\Sigma^0_1$ .

Además, no es difícil ver que hay definiciones de secuencias $(a_n)$ en ZFC tal que ZFC demuestra que $\sum a_n$ converge pero ZFC no demuestra que esta suma sea un entero y ZFC no demuestra que no sea un entero. Estas secuencias se pueden construir utilizando el teorema de incompletitud de la forma habitual. De hecho, podemos hacer $0 \leq a_n \leq 2^{-n}$ para todos $n$ por lo que no hay problema con la tasa de convergencia.

Pero debe haber algo especial en $e^{e^{e^{79}}}$ eso significa que o bien ZFC puede demostrar que es un número entero, o bien puede demostrar que no es un número entero, ¿verdad?

Answer 1

Esta es una respuesta condicional. Macintyre y Wilkie demostraron que si (una variante débil de) Conjetura de Schanuel es verdadera, entonces la teoría de primer orden del campo exponencial real $(\mathbb{R};0,1,+,\times,\exp)$ es decidible. En particular, la sentencia de primer orden (muy poco manejable) $$\bigvee_{n=A}^B \exp\exp\exp 79 = n,$$ donde $A = 2^{2^{2^{79}}}$ y $B = 3^{3^{3^{79}}}$ es entonces decidible por medios finitos. Por supuesto, es concebible que la conjetura de Schanuel sea falsa...

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Como señalan Dave Marker y George Lowther, la conjetura de Schanuel implica directamente que $e^{e^{e^{79}}}$ no es un número entero. De hecho, como $e^{79}$ es irracional, $79$ y $e^{79}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ lo que significa que $e^{79},e^{e^{79}}$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}$ . Desde $79,e^{79},e^{e^{79}}$ son por tanto linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ se deduce que $e^{79},e^{e^{79}},e^{e^{e^{79}}}$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}$ . En particular, $e^{e^{e^{79}}}$ no es un número entero.