Longitud de las órbitas en las acciones de grupo

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo, con $|G|=40,$ y $X$ un conjunto con $|X|=67$ y $G$ actuar $X.$ Hay $5$ órbitas para esta acción de $G$ en $X.$

¿Cuántas listas de longitudes de órbita hay?

Sé que el leght de una órbita divide el orden del grupo $G$ y que la suma de la longitud de las órbitas es igual al orden del conjunto $X$ pero no sé cómo resolver el problema.

Answer 1

Aquí hay algunos Mathematica para obtener las posibles listas de órbitas:

IntegerPartitions[67, {5}, Divisors[40]]

Hay seis particiones de este tipo, y por lo tanto hay seis acciones posibles aquí.

Para hacer esto a mano, no es que malo para probar algunas cosas (aunque obviamente las pruebas por enumeración/agotamiento son molestas). En primer lugar, hay que tener en cuenta que $67/4=13.5$ . Esto significa que la lista no puede estar formada por órbitas de tamaño inferior a 10. Por lo tanto, hay que empezar con una lista que conste de órbitas de un tamaño no superior a 20. Como $20+10+10+10+10 = 60 < 67$ pero $20+20+10+10+10 = 70$ está claro que tiene que haber al menos una órbita de tamaño 40 o dos órbitas de tamaño 20.

A partir de ahí, es cuestión de probar cosas. Por ejemplo, para una lista con exactamente dos órbitas de tamaño 20 (y ninguna de tamaño 40), necesitamos que las tres órbitas finales sumen $67-40=27$ . Jugando rápidamente con los números 1, 2, 4, 5, 8 y 10 no se obtiene nada que funcione: ya que $8+8+8=24$ Si el número de órbitas es 10, tiene que haber al menos un 10, así que ¿podemos encontrar dos órbitas que sumen 17? Es evidente que no. Etc.