Tengo la siguiente información $$\underline{F} = \frac{\underline{r}}{r^3}$$ para $\underline{r} \neq 0$ y también sé que $\nabla\cdot\underline{F} = 0$ . La superficie $S(a)$ es la superficie de una esfera de radio $a$ centrado en el origen, por lo que sé $$\iint_S\underline{F}\cdot d\underline{S} = 4\pi$$ Ahora considero que cualquier superficie $\widetilde{S}$ que contiene $S$ y quiero evaluar $$\iint_{\widetilde{S}}\underline{F}\cdot d\underline{S}$$ He utilizado el teorema de la divergencia para el volumen entre $\widetilde{S}$ y $S$ pero sólo obtengo la respuesta correcta si tomo la diferencia de las integrales de superficie, en lugar de la suma, es decir $$0 = \iiint_{\widetilde{V}}\nabla\cdot\underline{F} = \iint_{\widetilde{S}}\underline{F}\cdot d\underline{S} -\iint_S \underline{F}\cdot d\underline{S}$$
en lugar de tomar $+$ en la última igualdad. ¿Por qué ocurre esto? ¿Cómo sabemos que tenemos que tomar la diferencia y no la suma? Además, ¿cómo distinguimos entre $\widetilde{S}$ estar fuera y $S$ estar dentro, o viceversa?
