Es $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_p^{un})\cong \hat{\mathbb{Z}}$?

Question

Es la absoluta Galois grupo de $\mathbb{Q}_p^{un}$ el profinite finalización de $\mathbb{Z}$? Nunca estuve muy seguro de...

En casos similares, es cierto. Es decir, $\mathbb{C}((t))$ tiene absoluta Galois grupo isomorfo a la profinite finalización de $\mathbb{Z}$...

Answer 1

No. La absoluta Galois grupo de $\mathbb Q_p^{un}$ es la misma que la absoluta inercia grupo de $\mathbb Q_p$; voy a denotar por $I_p$. Se admite un cociente $I_p^\mathrm{tame}$, que corresponde a la extensión de $\mathbb Q_p^{un}$ obtenido por adjoinng la $n$th raíces de $p$ todos los $n$ coprime a $p$.

Esto es análogo al hecho de que la clausura algebraica de $\mathbb C((t))$ se obtiene por contigua a todos los $n$th raíces de $\mathbb Z$. El punto en este caso es que el residuo de campo ha char. 0 (es $\mathbb C$) y para todos los inercia es manso.

Pero el mapa de $I_p \to I_p^\mathrm{tame}$ tiene un no-trivial núcleo, que puede también ser pensado de como el pro-$p$-subgrupo de Sylow de $I_p$. No es abelian.