Demostrar que el producto cuña es asociativo

Question

Fijar un espacio vectorial real $V$ de dimensión finita. Denotemos por $\Lambda^p(V)$ el espacio vectorial de $p$ -forma en $V$ (es decir, alternando $p$ -tensores). Entonces tenemos el producto $\wedge : \Lambda^p(V) \times \Lambda^q(V) \to \Lambda^{p + q}(V)$ dado por $(\omega \wedge \eta)(X_1, \ldots, X_{p + q}) = \frac{1}{p! q!} \sum_{\sigma \in S_{p + q}} sgn\ \sigma \cdot \omega(X_{\sigma(1)}, \ldots, X_{\sigma(p)}) \eta(X_{\sigma(p + 1)}, \ldots, X_{\sigma(p + q)})$ . ¿Cómo puedo demostrar que $\wedge$ ¿es asociativo? He intentado desarrollarlo a partir de la definición pero al final no consigo cosas que queden bien o sean obviamente iguales. En concreto, me sale:

$(\omega \wedge \eta) \wedge \theta(X_1, \ldots, X_{p + q + r}) = \frac{1}{(p + q)! r! p! q!} \sum_{\sigma \in S_{p + q + r}} \sum_{\tau \in S_{p + q}} sgn\ \sigma\ sgn \tau \cdot \omega(X_{\sigma \tau(1)}, \ldots, X_{\sigma \tau(p)}) \eta(X_{\sigma \tau(p + 1)}, \ldots, X_{\sigma \tau(p + q)}) \theta(X_{\sigma(p + q + 1)}, \ldots, X_{\sigma(p + q + r)})$

$\omega \wedge (\eta \wedge \theta)(X_1, \ldots, X_{p + q + r}) = \frac{1}{p! (q + r)! q! r!} \sum_{\sigma \in S_{p + q + r}} \sum_{\tau \in S_{q + r}} sgn\ \sigma\ sgn\ \tau \cdot \omega(X_{\sigma(1)}, \ldots, X_{\sigma(p)}) \eta(X_{\sigma(p + \tau(1))}, \ldots, X_{\sigma(p + \tau(q))}) \theta(X_{\sigma(p + \tau(q + 1))}, \ldots, X_{\sigma(p + \tau(q + r))})$

Answer 1

El producto cuña se define como: sea $\omega\in \Omega^k(V)$ y $\tau\in \Omega^l(V)$ Entonces

$$\omega \wedge \tau=\frac{1}{k!l!}A(\omega\otimes\tau);$$

donde $$A(\omega)(x_1,...,x_k)=\sum_{\sigma\in S_{k}}sgn(\sigma)\omega(x_{\sigma(1)},...x_{\sigma(k)})=\sum_{\sigma\in S_{k}}sgn(\sigma)\sigma\omega.$$ $$ $$

LEMA: Si $\omega\in\Omega^k(V)$ , $\tau\in\Omega^l(V)$ entonces: $A(A(\omega)\otimes\tau)=k!A(\omega\otimes\tau).$

Este lema se desprende de la definición de $A(\omega)$ . Ahora podemos demostrar la asociatividad del producto cuña.

Dejemos que $\omega\in\Omega^k(V)$ , $\tau\in\Omega^l(V)$ , $\eta\in\Omega^r(V);$ entonces, por definición,

$$(\omega\wedge\tau)\wedge\eta=\frac{1}{(k+l)!r!}A((\omega\wedge\tau)\otimes\eta)$$

$$=\frac{1}{(k+l)!r!}\frac{1}{k!l!}A(A(\omega\otimes\tau)\otimes\eta) $$ y por el lema anterior tenemos $$=\frac{(k+l)!}{(k+l)!r!k!l!}A((\omega\otimes\tau)\otimes\eta)=\frac{1}{r!k!l!}A((\omega\otimes\tau)\otimes\eta).$$

Asimismo,

$$\omega\wedge(\tau\wedge\eta)=\frac{1}{k!l!r!}A(\omega\otimes(\tau\otimes\eta)),$$

ya que el producto tensorial es asociativo podemos concluir.

De hecho, el producto tensorial es asociativo:

$$(\omega\otimes\tau)\otimes\eta(v_1,...,v_k,v_{k+1},...,v_{k+l},v_{k+l+1},...,v_{k+l+r})=\omega(v_1,...,v_k)\tau(v_{k+1},...,v_{k+l})\eta(v_{k+l+1},...,v_{k+l+r})=\omega\otimes(\tau\otimes\eta)(v_1,...,v_k,v_{k+1},...,v_{k+l},v_{k+l+1},...,v_{k+l+r}).$$

Answer 2

Lema. Sea $\omega$ ser un $k$ -forma lineal y $\tau$ un $l$ -forma lineal. Entonces $$ A(A(\omega)\otimes\tau) = k!A(\omega\otimes\tau) $$

Prueba. Empecemos por introducir algunas notaciones.

Para cualquier conjunto de índices $I\subset\{1,\dots,n\}$ deje $\pi_I$ denotan la proyección desde $\mathbb V\times\cdots\times\mathbb V$ ( $n$ veces) sobre las coordenadas con índices en $I$ en $\mathbb V\times\cdots\times\mathbb V$ ( $|I|$ veces).

Si $\sigma$ es una permutación de índices y $\omega$ un $n$ -denotemos con $\omega_\sigma$ el $n$ -dada por $$ \omega_\sigma(v_1,\dots,v_n) = \omega(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(n)}). $$ Sea $K=\{1,\dots,k\}$ y $L=\{k+1,\dots,k+l\}$ . Por definición \begin{align*} A(\omega)\otimes\tau &= (A(\omega)\circ\pi_K)(\tau\circ\pi_L)\\ &= \sum_{\varsigma\in S_k}\textrm{sg}(\varsigma) (\omega_\varsigma\circ\pi_K)(\tau\circ\pi_L). \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} A(A(\omega)\otimes\tau) &= \sum_{\sigma\in S_{k+l}}\textrm{sg}(\sigma) \sum_{\varsigma\in S_k} \textrm{sg}(\varsigma)(\omega_\varsigma\circ\pi_K)_\sigma (\tau\circ\pi_L)_\sigma\\ &= \sum_{\sigma\in S_{k+l}}\sum_{\varsigma\in S_k} \textrm{sg}(\varsigma\sigma) (\omega\circ\pi_K)_{\varsigma\sigma}(\tau\circ\pi_L)_\sigma\\ &= \sum_{\varsigma\in S_k}\sum_{\sigma\in S_{k+l}} \textrm{sg}(\varsigma\sigma)(\omega\circ\pi_K)_{\varsigma\sigma} (\tau\circ\pi_L)_{\varsigma\sigma}\\ &= \sum_{\varsigma\in S_k}\sum_{\sigma\in S_{k+l}} \textrm{sg}(\sigma) (\omega\circ\pi_K)_\sigma(\tau\circ\pi_L)_\sigma\\ &= \sum_{\varsigma\in S_k}A(\omega\otimes\tau)\\ &= k!A(\omega\otimes\tau). \end{align*}