Conjuntos cerrados en una topología dada

Question

Me encontré con una topología en $ \mathbb Z \times \mathbb Z $ cuya base se define como sigue:

$ B(m,n) = \lbrace (m,n) \rbrace $ si tanto m como n son impar

$ B(m,n) = \lbrace (m+a, n) | a = -1, 0 ,1 \rbrace $ cuando m es par y n es impar

$ B(m,n) = \lbrace (m, n+a) | a = -1, 0 ,1 \rbrace $ cuando m es impar y n es par

$ B(m,n) = \lbrace (m+a, n+b) | a,b = -1, 0 ,1 \rbrace $ cuando m y n son pares

Intentaba determinar los conjuntos cerrados más pequeños posibles dado un punto, como me pide el problema. Demostré que cuando ambas coordenadas son pares, es sólo el conjunto único el que está cerrado.

Pero en el resto de los casos, creo que tiene que ser el propio conjunto. Sin embargo me falta una prueba rigurosa para establecer mi afirmación. ¿Puede alguien orientarme?

Answer 1

SUGERENCIA: Considere el punto $\langle 0,1\rangle$ digamos. Un punto $p\in\Bbb Z\times\Bbb Z$ está en el cierre de $\{\langle0,1\rangle\}$ si y sólo si todo nbhd abierto de $p$ contiene $\langle 0,1\rangle$ . Este es el caso si $p$ es $\langle 0,2\rangle$ o $\langle 0,0\rangle$ pero eso es todo. Para ver esto, dejemos $p=\langle m,n\rangle$ . Si $m<-1$ o $m>1$ , $p\notin B(m,n)$ y, de forma similar, si $n<0$ o $n>2$ . Por lo tanto, sólo tenemos que considerar los nueve puntos del conjunto $\{-1,0,1\}\times\{0,1,2\}$ y en todos los casos, excepto los dos ya señalados, $p\notin B(m,n)$ .

Este argumento se generaliza fácilmente para mostrar que el cierre de $\{\langle 2k,2\ell+1\rangle\}$ es el conjunto de tres puntos $\{\langle 2k,2\ell\rangle,\langle 2k,2\ell+1\rangle,\langle 2k,2\ell+2\rangle\}$ para cualquier número entero $k$ y $\ell$ . Es decir, si $p$ es un punto par-impar, por así decirlo, los únicos puntos que no pueden separarse de él son los dos adyacentes a él verticalmente.

Ahora intente analizar los casos restantes de la misma manera general.