Cómo demostrar que $||T||=\sup \{||Tx||:||x||\le 1\}=\inf \{k:k\ge0\; \text{ and } ||Tx||\le k||x||, \forall x\}$
lo que sé es $||T||=\sup\{\frac{||Tx||}{||x||}: x\ne0\}=\sup\{ ||Tx||:||x||=1\}$
Respuesta
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Si $0<\|x\| \le 1$ entonces $\|Tx\| = \|T\hat x\|\cdot\|x\| \le \|T\|\cdot \|x\| \le \|T\|$ , donde $\hat x = x\cdot\|x\|^{-1}$ . Por lo tanto, $$\sup\{\|Tx\| : \|x\| \le 1\} \le \|T\|.$$ Desde $\|T\| = \sup\{\|Tx\|:\|x\| = 1\}$ y $\{\|Tx\|:\|x\| = 1\}\subset\{\|Tx\| : \|x\| \le 1\},$ también tenemos $$\|T\| \le \sup\{\|Tx\| : \|x\| \le 1\},$$ y la igualdad se deduce de la combinación de desigualdades.
Dejemos que $k\ge0$ sea tal que $\|Tx\| \le k\|x\|$ para cada $x$ . En particular, esto es válido para todos los vectores unitarios $x$ Así que $\|T\| \le k$ . Por lo tanto, $$\|T\|\le \inf\{k : k\ge 0,\ \|Tx\|\le k\|x\|,\ \text{for all $ x $}\}.$$ Para cada $x$ tenemos $\|Tx\| \le \|T\|\cdot \|x\|$ Por lo tanto $$\inf\{k : k\ge 0,\ \|Tx\|\le k\|x\|,\ \text{for all $ x $}\} \le \|T\|.$$ Obtenemos la igualdad deseada combinando de nuevo las desigualdades.
