Si $V$ es un espacio vectorial con una base. $W\subseteq V$ tiene que tener una base también?

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial, decimos que $\mathcal B$ es una base para $V$ si:

1. Cada $v\in V$ puede escribirse como una combinación lineal de elementos de $\mathcal B$ ;
2. Si $\sum\alpha_i b_i = 0$ , donde $\alpha_i$ son escalares y $b_i\in\mathcal B$ entonces $\alpha_i=0$ para todos $i$ .

Asumiendo el axioma de elección, todo espacio vectorial tiene una base. En particular, cada subespacio tiene una base.

Sin embargo, suponiendo que el axioma de elección no se cumpla, hay espacios sin base. Por supuesto que si $V$ es un espacio vectorial sin base puede tener un subespacio que tenga una base, por ejemplo, un tramo de un solo vector.

Es sencillo tener un espacio vectorial que tenga un $\aleph$ base también, ya que en ausencia de elección hay conjuntos cuyos cardinales no son $\aleph$ números, dejemos que $A$ sea dicho conjunto y considere las funciones de $A$ en $\mathbb F$ con soporte finito. Es decir:

$$V=\left\lbrace f\colon A\to\mathbb F\ \colon\ |A\setminus f^{-1}(0)|<\aleph_0\right\rbrace$$

La suma y la multiplicación por escalares definidos puntualmente dejan bastante claro que se trata de un espacio vectorial sobre $\mathbb F$ . Cada una de estas funciones puede definirse como una combinación lineal de $\delta$ funciones, es decir, funciones que son $1$ en un solo punto.

También está bastante claro que $a\mapsto\delta_a$ es una biyección entre $A$ y esta base, por lo tanto tenemos una base que no es bien ordenable.

Pregunta: $(\lnot AC)$ Supongamos que $V$ es un espacio vectorial, y $\mathcal B$ es una base de $V$ . ¿Es cierto que todo subespacio de $V$ tiene una base? ¿O podemos encontrar un contraejemplo, a saber, un espacio vectorial abarcado por una base con un subespacio que no tiene base?

¿Depende esto de la definición de base anterior?

Answer 1

La respuesta es no, creo. Aquí hay un esquema de prueba. (Se ha eliminado un punto poco claro en una versión anterior, modificando ligeramente la construcción de la secuencia).

Dejemos que $(S_n)_{n\in\omega}$ sea una familia de ``pares de calcetines''; es decir, cada $S_n$ tiene 2 elementos, el $S_n$ son disjuntos, pero no hay ningún conjunto que reúna infinitas $S_n$ en exactamente un punto. Sea $S$ sea la unión de los $S_n$ .

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial con base $S$ sobre el campo de 3 elementos. Para cada $v\in V$ Cada uno de ellos $s\in S$ dejar $c_s(v)$ sea el $s$ -coordinación de $v$ . (En su notación: $v(s)$ .)

Consideremos el subespacio $W$ de todos los vectores $w$ con la siguiente propiedad: Para todo $n$ , si $S_n = \{a,b\}$ entonces $c_a(w)+c_b(w)=0$ . El conjunto de todos los $n$ tal que para ambos/cualquier $a\in S_n$ tenemos $c_a(w) \neq0$ se llamará el dominio de $w$ . Claramente, cada dominio es finito, y para cada subconjunto finito de $\omega$ de tamaño $k$ hay $2^k$ vectores $w\in W$ con este dominio.

[Versión revisada de aquí en adelante].

Voy a mostrar

• Desde cualquier base $C$ de $W$ podemos definir una secuencia 1-1 de elementos de $W$ .
• A partir de cualquier secuencia 1-1 de elementos de $W$ podemos definir una secuencia 1-1 de elementos de $S$ . En conjunto, esto demostrará que no hay ninguna base, como $S$ no contiene ningún conjunto contablemente infinito.

Para cada conjunto $D$ que aparece como el dominio de un vector base, sea $x_D$ sea la suma de todos los vectores base con este dominio. Así que $x_D \neq 0$ y para $D\neq D'$ obtenemos $x_D\neq x_{D'}$ . A partir de un buen orden de los subconjuntos finitos de $\omega$ obtenemos así una secuencia bien ordenada de vectores no nulos. Dado que debe haber infinitos vectores base, y que sólo unos cuantos pueden compartir el mismo conjunto $D$ hemos obtenido una secuencia infinita de vectores en $W$ .

Ahora se nos da una secuencia infinita $(w_n)$ de vectores distintos de $W$ . La unión de sus dominios no puede ser finita, por lo que podemos wlog suponer que la secuencia $k_n:= \max(dom(w_n))$ es estrictamente creciente. (Adelgace, si es necesario.)

Ahora dejemos que $a_n$ sea el elemento de $S_{k_n}$ sea tal que $c_{a_n}(w_n)=1$ . Entonces el conjunto de esos $a_n$ se encuentra con infinidad de $S_k$ en un singleton.