Aquí hay un problema sobre diferenciabilidad en un punto y continuidad de la función derivada en el mismo punto. Estoy presentando el problema y mi solución. No estoy totalmente seguro de mi solución (especialmente sobre la intercambiabilidad de los límites). Así que agradecería mucho si alguien revisara la solución y me dijera si hay alguna brecha en mis argumentos. Gracias.
El Problema: Deja que $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ sea continua en $(a,b)$ y sea diferenciable excepto posiblemente en $c \in (a,b)$. Asuma que $\lim_{x \to c} f'(x)$ existe. Muestra que $f'(c)$ existe y que $f'$ es continua en $c.
Mi Enfoque: Dado que $\lim_{x \to c}f'(x)$ existe, podemos escribir \begin{align} \lim_{x \to c}f'(x)&=\lim_{x \to c} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \to 0} \lim_{x \to c} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} ~~\text{[Dado que el doble límite existe]}\\ &=\lim_{h \to 0} \Big[\frac{1}{h} \cdot \lim_{x \to c}\big\{f(x+h)-f(x)\big\}\Big]\\ &=\lim_{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} ~~\text{[Dado que $f$ es continua]}\\ \end{align} Dado que $\lim_{x \to c}f'(x)$ existe, entonces también lo hace $\lim_{x \to c} \frac{f(c+h)-f(c)}{h},$ es decir, $f'(c)$. Claramente, $\lim_{x \to c}f'(x)=f'(c)$. Por lo tanto, $f'$ es continua en $c$. $~\blacksquare$
P.D. El problema es de un ejercicio que consiste en problemas relacionados con el Teorema del Valor Medio (MVT). Por lo tanto, es muy probable que el MVT deba jugar un papel aquí, lo que me hace sospechar que esta es una solución comparativamente simple, probablemente demasiado simple para ser correcta.
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La existencia de un límite doble no es suficiente para intercambiar límites. Hay muchos ejemplos de una doble secuencia que converge a valores diferentes cuando el orden de los límites es diferente.
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Por cierto, contrario a lo que piensas, una solución de un problema de límite a través del uso de un límite doble no es simple. El enfoque más simple/correcto es el uso del teorema del valor medio (y tú también dices que es un problema relacionado con el valor medio).