Me encontré con una ecuación paramétrica: $$x=2t-2\sin (t)\\y=2-2\cos(t)$$ La pregunta me pedía que lo graficara en una calculadora, así que lo grafiqué. Pero luego me pregunté: ¿hay alguna forma de escribirlo explícitamente (como $y=f(x)$ )? Lo he intentado pero no he podido conseguir el $2t$ y la función trigonométrica al mismo tiempo. En general, ¿se puede escribir la ecuación paramétrica explícitamente?
Se agradece cualquier ayuda.
Primera escritura $x-2t=-2\sin t,\,y-2=-2\cos t.$ Luego se cuadra y se suma para obtener $$(x-2t)^2+(y-2)^2=4.$$ Por último, resuelve para $t$ en la segunda ecuación para obtener $\cos t=\frac{2-y}{2}.$ Entonces, para los valores de $t$ tal que $0\le t\le π,$ tenemos $$t=\arccos\left(\frac{2-y}{2}\right),$$ de modo que la ecuación se convierte en $$\left(x-2\arccos\left(\frac{2-y}{2}\right)\right)^2+(y-2)^2=4.$$
Aparte del hecho de que esto probablemente no traza toda la curva, ya que hay una restricción en $y$ para que $4\ge y\ge 0,$ no es muy bonito de ver.
En este caso somos afortunados de poder conseguir una relación de este tipo. No siempre es posible hacerlo en general.
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