Pregunta sobre la definición de covarianza

Question

Quería confirmar mi comprensión de la covarianza.

Sean las variables aleatorias $X$ y $Y$ y su PDF conjunto $f_{X, Y}$ .

Su covarianza viene dada por $\mathbb E[(X - \mu_X) \cdot (Y - \mu_Y)]$ .

Y podemos escribir... $$\mathbb E[(X - \mu_X) \cdot (Y - \mu_Y)]$$ $$= \int_{X} \int_{Y}(x - \mu_X) \cdot (y - \mu_Y) \cdot f_{X, Y}(x, y) \, \mathrm dy \, \mathrm dx$$

¿Es todo esto correcto?

EDITAR: Quise decir $$\int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R}(x - \mu_X) \cdot (y - \mu_Y) \cdot f_{X, Y}(x, y) \, \mathrm dy \, \mathrm dx$$

Answer 1

No. Si $$X,Y:(\Omega,\mathscr{A})\to (\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$$ son dos variables aleatorias con $X,Y\in L^2(\mathbb P)$ entonces la covarianza es $$\int_\Omega X(\omega)Y(\omega)\mathbb{P}(d\omega)-\mathbb{E}X\mathbb{E}Y=\int_\mathbb{R^2} xy ~\mathbb P_{(X,Y)}(d(x,y))-\mathbb{E}X\mathbb{E}Y$$

Si $(X,Y)$ tiene una densidad $f_{(X,Y)}(x,y)$ con respecto a la medida de Lebesgue, entonces $$\int_{\mathbb R^2}xy~\mathbb{P}_{(X,Y)}\left(d(x,y)\right)=\int_\mathbb{R^2}xy\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \lambda(dx,dy)=\int_{\mathbb{R}}\int_\mathbb R xy \cdot f_{(X,Y)}(x,y) ~dx dy$$ en el último paso utilizamos Fubini-Tonelli.

Requerimos $X,Y\in L^2(\mathbb P)$ para que el producto $XY$ es integrable.