Teoría de Galois para polinomios en varias variables

Question

Me da un poco de vergüenza hacer la siguiente pregunta aquí.

¿Qué es (en realidad, existe) Galois para polinomios en $n$ -variables para $n\geq2$ ?

Estoy preparando una charla para un público numeroso sobre la teoría de Lie, y he decidido empezar a hablar de las simetrías y tomar la teoría de Galois como un ejemplo "infantil". Sé que los grupos de Lie son de alguna manera a las ecuaciones diferenciales lo que los grupos discretos son a las ecuaciones algebraicas. Pero, sin embargo, espero que los grupos de Lie (o algebraicos) aparezcan de forma natural como análogos de dimensión superior de los grupos de Galois.

En concreto, el grupo de Galois $G_P$ de un polinomio $P(x)$ en una variable puede definirse como el grupo de simetría de la ecuación $P(x)=0$ (muy brevemente, el subgrupo de permutaciones de las soluciones/raíces que preserva cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas).

Entonces uno de los grandes resultados de la teoría de Galois es que $P(x)=0$ es soluble por radicales si y sólo si el grupo $G_P$ es soluble (lo que significa que su serie derivada alcanza $\{1\}$ ).

Me preguntaba cuál es el análogo de la historia en dimensión superior (es decir, para ecuaciones de la forma $P(x_1,\dots,x_n)=0$ . Ingenuamente esperaría que el grupo algebraico apareciera...

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Busqué en Google las principales palabras clave y encontré esta presentación En la última diapositiva está escrito que

la tarea en cuestión es desarrollar una teoría de Galois de los polinomios en dos variables

Esto me convenció de todos modos de hacer la pregunta

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EDIT: la primera "idea" que tuve

Primero pensé en la siguiente estrategia. Considere $P(x,y)=0$ como una ecuación polinómica en una variable $x$ con coeficientes en el campo $k(y)$ de funciones racionales en $y$ y considerar su grupo de Galois. Pero entonces podríamos hacer lo contrario... ¿qué pasaría?

Answer 1

(Creo que esto debería ser un comentario, pero no estoy lo suficientemente valorado como para dejar uno, así que tened paciencia)

Una condición de la Teoría de Galois para que un polinomio en dos variables sea resoluble por radicales se encuentra en el siguiente trabajo: http://arxiv.org/abs/math/0305226 . Parece indicar que se puede hacer algo similar para variables superiores. Quizás le pregunte a Jochen la próxima vez que lo vea sobre esto.

Answer 2

¡Esto no va a responder a la pregunta pero es más que un comentario además puede ser muy ingenuo! (¡¡¡Es una pregunta dura, no una pregunta blanda!!!)

Me pregunto si, dado que el enlace grupo de Galois <-> grupo fundamental étale funciona para la dimensión 1, no debería haber un enlace '2-Galois thingie'<-> tipo 2étale, y por tanto un enlace con Pursuing Stacks de Grothendieck y sus cartas a Breen en 1975. El modelo buscado podría ser un módulo cruzado profinito (?). Estos pueden ser vistos como grupos 2 de automorfismo de groupoides, así que aunque son cosas de automorfismo, hay una brecha que salvar antes de que el enlace funcione bien. También me he encontrado con una idea similar al trabajar con orbifolds, e ideas relacionadas, pero no tengo ninguna respuesta definitiva a la pregunta en particular, ¡más bien una adición a la pregunta! (Espero que esto ayude... o inspire a alguien a pensar "fuera de la caja").

Habría entonces una idea similar para polinomios en n-variables y modelos para n-tipos?? (Puede que todo esto sea una tontería, pero a veces es agradable soñar)