Sondear una variedad con geodésicas

Question

Supongamos que te encuentras en un punto $p \in M$ en una variedad suave de 2 dimensiones $M$ incrustada en $\mathbb{R}^3$. No sabes nada sobre $M$. Disparas una geodésica $\gamma$ en alguna dirección $u$, y aprendes la forma de la curva completa $\gamma$ tal como está en $\mathbb{R}^3$. (Podría imaginarse un vehículo viajando a lo largo de $\gamma$, enviando coordenadas $xyz$ de regreso en intervalos de tiempo regulares; asumir $t \rightarrow \infty$.) Por ejemplo, si la geodésica resulta ser cerrada, tu sonda podría regresar la curva azul a la izquierda abajo:
         
                                                       _{(Basado en una imagen creada por <a href="http://www.rdrop.com/~half/math/torus/illustrating.html" rel="noreferrer">Mark Irons</a>.)}

Me gustaría saber qué información se puede aprender sobre $M$ a partir de tales sondas geodésicas. Estoy interesado en el mejor caso en lugar del peor caso. Por ejemplo, podrías aprender que $M$ es no acotada, si tienes la suerte de disparar una geodésica hacia el infinito. En particular,

¿Existen circunstancias (una variedad $M$, un punto $p$, direcciones $u$) que permitan concluir definitivamente que el género de $M$ es distinto de cero, al disparar (quizás muchas) geodésicas desde un punto fijo (bien elegido) $p$?

Creo que, si se conocieran todas las geodésicas a través de cada punto, entonces existen circunstancias naturales bajo las cuales la métrica es determinada [p. ej., "La Métrica con Flujo Geodésico Ergódico está Completamente Determinada por Geodésicas Sin Parametrizar." Vladimir Matveev y Petar Topalov. Anuncios de Investigación Electrónica de la AMS. Volumen 6, Páginas 98-101, 2000]. Pero estoy más interesado en lo que se puede determinar a partir de un solo punto $p$ (y muchas direcciones $u$). ¡Gracias por pensamientos/referencias!

(Pregunta de MO relacionada tangencialmente: ¿Las Distancias del Camino Más Corto Determinan la Métrica?.)

Answer 1

Hay un tipo de respuesta diferente a esto que podría interesarte: Supongamos que, cuando lanzas una sonda a lo largo de una geodésica de velocidad unitaria que comienza en $p\in M$, registras la dirección $\theta$ en la que la enviaste, y la sonda informa las fuerzas inerciales que está experimentando, es decir, envía un informe en marcha sobre la curvatura y torsión de la curva a lo largo de la que viaja. Así, puedes registrar estos dos datos como funciones $\kappa(t,\theta)$ y $\tau(t,\theta)$ de $t$, el tiempo desde que se lanzó la sonda, y $\theta$, la dirección en la que fue enviada.

Entonces, la pregunta es "¿Puedes recuperar la métrica en la superficie $M$ a partir de los datos $\kappa$ y $\tau$?"

No es sorprendente que la respuesta sea sí en la situación genérica. Si, por ejemplo, te encuentras en una situación en la que $\tau\not=0$, descubres (calculando con las ecuaciones de estructura) que la métrica inducida debe ser de la forma $$ g = dt^2 + f(t,\theta)^2\ d\theta^2, $$ donde $$ f(t,\theta) = \frac{\sqrt{|\tau(t,\theta)|}}{2\ \tau(t,\theta)} \int_0^t\frac{\kappa_\theta(\rho,\theta)}{\sqrt{|\tau(\rho,\theta)|}}\ d\rho\ . $$

(Obviamente, habrá algunos problemas de singularidad en lugares donde $\tau$ se anula, pero, genéricamente, esto no es un problema. El caso en el que $\tau$ se anula identicamente, como cuando $p$ es un polo de simetría rotacional de la superficie $M$, debe tratarse por separado.)

Dado que puedes recuperar la curvatura de $f$ por la fórmula $K = -f_{tt}/f$, podrías detectar cuando, por ejemplo, la superficie $M$ es localmente convexa, y así sucesivamente.

En cuanto al cálculo de la característica de Euler, dado que $K\ dA = -f_{tt}\ dt\wedge d\theta = -d\left(\ f_t\ d\theta\ \right)$, se sigue que, si pudieras averiguar el dominio en forma de estrella (en casos buenos, de la forma $0\le t < T(\theta)$ para alguna función pieza a pieza diferenciable $2\pi$-periódica $T$ ) que mapea de manera biunívoca y sobre el complemento del locus de corte de $p$, entonces podrías calcular la característica de Euler como $$ \chi(M) = \frac{-1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f_t\bigl(T(\theta),\theta\bigr)\ d\theta. $$

No sé cuán estable numéricamente son todos estos cálculos. (Tampoco sé cuán difícil sería averiguar o aproximar $T$). Sin embargo, dado que sabes que el resultado es un entero, podrías tolerar una cantidad razonable de error numérico.

Answer 2

Arregla un $u$, su sonda geodésica resultante, y varía $u$ ligeramente. Comparando las dos geodésicas en los mismos valores de longitud de arco proporciona una aproximación cercana a la solución de la ecuación de Jacobi a lo largo de la primera curva. En consecuencia, puedes aproximar la curvatura $K$ a lo largo de la primera curva. Avanzando alrededor del círculo unitario en el espacio tangente basado en $p$ de esta manera, tengo $N$ sondas geodésicas, y a lo largo de cada una una aproximación a la curvatura. Tomando $N$ grande, obtengo una aproximación a la curvatura de toda la superficie. Ahora también puedes aproximar el elemento de área en la superficie a partir de tu esqueleto de curvas, por lo que obtienes una aproximación de $\int K dA$ y por lo tanto el género de la superficie.

Esto parece un poco de trampa. Tu mapa es la función exponencial desde el punto $p$. Estoy llegando a decir: retrocede la métrica en la superficie al espacio tangente a través de la función exponencial. Ahora tienes una descripción de toda la superficie.

Un comentario sobre la densidad vs. negocio de Zoll. Si la superficie es compacta, entonces en todas las circunstancias tenemos recurrencia de Poincaré: cualquier geodésica a través de $p$ regresa a un vecindario arbitrariamente pequeño de $p$.