Capítulo 1, sección 2, pregunta 4(b) en Geometría algebraica dice
Un conjunto algebraico $Y \subseteq \mathbb{P}^n$ es irreducible si $I(Y)$ es un ideal primo.
Estoy confundido con la solución dada en http://www.math.northwestern.edu/~jcutrone/Work/Hartshorne%20Algebraic%20Solutions.pdf
que dice
Mirando el cono afín, esto se deduce de Cor 1.4
No sé muy bien qué significa esto. En una dirección, si $Y=Z(\mathfrak{a})$ para algún ideal homogéneo y radical $\mathfrak{a}$ entonces $I(Y)$ es la misma que si consideramos $Y$ para estar en un espacio afín. Por lo tanto, si $I(Y)$ es primo, entonces se considera en $\mathbb{A}^{n+1}$ , $Z(\mathfrak{a})$ es irreducible, por lo que $Z(\mathfrak{a})$ es ciertamente irreducible en el espacio proyectivo.
En la otra dirección, no veo por qué $Z(\mathfrak{a})$ siendo irreducible en $\mathbb{P}^n$ significa que es irreducible cuando se considera en $\mathbb{A}^{n+1}$ pero tal vez estoy pensando mal. Estoy contento de que la prueba de 1.4 se aplique a $\mathbb{P}^n$ pero me gustaría entender cómo se aplica el resultado.
