Relaciones entre los retículos U14, C2xG23, A15+ y sus politopos de Delaunay

Question

¿Tiene alguna referencia que explique las relaciones entre los entramados U14, C2xG23 alias Q14, y A15+?

¿Tienes alguna referencia que explique las relaciones entre estos entramados y los empaquetamientos 7D E7, E7*, 1_33 honeycomb?

Quiero aprender más sobre estos entramados y sus relaciones.

U14 alias (E7^2)+: https://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/U14.html

C2 x G(2,3) alias Q14: https://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/P14.1.html

A15+: https://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A15p.html

Me gustaría entender

(0) ¿cuál es la construcción de cualquiera de estos entramados U14, C2G23, A15+ a partir de E7, E7* o el panal 1_33?

(1) ¿cuál es la construcción de A15+ a partir de C2G23 o U14 o viceversa?

(2) ¿cuál es la construcción de C2G23 a partir de U14 o viceversa? El C2G23 tiene el triple de número de besos/coordenadas que el U14, 252 frente a 756.

(3A) U14 y A15+ parecen tener sólo un politopo de Delaunay, un tipo de agujero. ¿Es esto correcto? Entiendo que los politopos de Delaunay están en correspondencia 1:1 con los agujeros de la red. Las retículas U14 y A15+ parecen tener sólo un tipo de agujero. Así que estas celosías parecen corresponder a teselaciones del espacio con un solo politopo de Delaunay. ¿Es esto correcto?

Si estoy en lo cierto sobre eso,

¿cuál es la relación entre los politopos únicos de Delaunay correspondientes a los únicos agujeros de U14 y A15+? ¿Cómo se llaman estos politopos únicos de U14 y A15+, politopos que teselan el espacio solos?

Es el único politopo de A15+ llamado B15, según esta tabla de Dutour ¿con 135 vértices y no 112 como he encontrado con mi método primitivo como se indica a continuación? ¿Existe algún entramado o empaquetamiento de 15 dimensiones asociado a este politopo B15 con 135 vértices que aparece en la tabla de Dutour anterior?

(Calculo los agujeros con un método primitivo y asumo que la profundidad del agujero y su número de coordinación identifican de forma única el politopo de Delaunay para estos entramados. Entiendo que esta suposición no es válida para celosías de mayor dimensión, como la celosía de Leech para la que los agujeros más profundos tienen diferentes politopos de Delaunay, pero asumo que los politopos de Delaunay se identifican de forma única por la profundidad de sus agujeros (centro) y los números de coordinación para estas celosías en 14 y 15D. ¿No es así? Por favor, corrijan cualquier malentendido que tenga).

El entramado C2 x G(2,3) con número de coordinación 756 parece llamarse también Q14, por ejemplo https://arxiv.org/abs/math/0505510 : Entiendo que la red Q14 discutida en esta referencia es la misma que la red C2xG23 porque tiene el mismo número de coordinación, 756.

$$\begin{array}{lll} \mathrm{Lattice} & \mathrm{Coord/kissing \ number} & \mathrm{Delaunay \ polytope(s) \ / \ holes} \\ U14 & 252 & \mathrm{One? \ 128 \ vertices?} \\ C2G23/Q14 & 756 & \mathrm{Two? \ 106 \ vertices?} \\ A15+ & 240 & \mathrm{One? \ \ 112 \ vertices, \ or \ 135?} \end{array}$$

Los números de coordinación/beso son conocidos, en la segunda columna de la tabla anterior. Pero no estoy seguro de los politopos de Delaunay de estas redes. He escrito lo que he encontrado sobre los politopos de Delaunay en la tercera columna. En particular, me gustaría confirmar el politopo de Delaunay de A15+. ¿Tiene 112 vértices como he encontrado, o es el politopo B15 con 135 vértices? ¿Dónde puedo encontrar más información sobre el/los politopo(s) de Delaunay de A15+ y el politopo B15 que aparece en la tabla de Dutour? ¿Hay alguna red de 15 dimensiones asociada al politopo B15 que aparece en la tabla de Dutour?

(3B) ¿Y los politopos de contacto de estas redes? ¿Dónde puedo encontrar más información sobre estos politopos con 252, 756 y 240 vértices y sus relaciones?

Esto es lo que he encontrado sobre los politopos de Delaunay; por favor, confírmalo:

U14 y A15+ parecen tener un tipo de agujero; su agujero más profundo es su único agujero. Entiendo que los politopos de Delaunay de los entramados están asociados 1:1 a los agujeros de los entramados. Parece que sólo hay un tipo de agujero para A15+ y U14, por lo que A15+ y U14 corresponden a teselaciones del espacio con una sola forma, es decir, estas celosías sólo tienen un politopo de Delaunay. ¿Es esto correcto?

He buscado agujeros de la red utilizando un número creciente de conchas de coordinación. Esto es lo que he encontrado:

U14 con 4, 5, 6 conchas de coordinación (85289, 279945, 781065 puntos):

Un politopo de Delaunay encontrado: Parece tener 128 vértices. 127 vértices identificados con 4 y 5 conchas; 128 vértices identificados con 6 conchas.

C2G23 con 3, 4 o 5 carcasas (53719, 241207 o 772675 puntos):

Se han encontrado dos politopos de Delaunay; se han encontrado dos profundidades de agujeros. El politopo de Delaunay asociado al agujero más profundo parece tener 106 vértices. Se han encontrado 105 vértices con 3 y 4 conchas; se han encontrado 106 vértices con 5 conchas. ¿Cuál es el nombre de este politopo de Delaunay con 106 vértices; cómo se llama y dónde puedo encontrar más información sobre él?

A15+ con 4, 5, 6 proyectiles (127127, 450807, 1346487 puntos):

Un politopo de Delaunay encontrado, con poca confianza. Parece tener 112 vértices. 111 vértices identificados con 4 y 5 conchas; 112 vértices encontrados con 6 conchas. ¿Cómo se llama este politopo con 112 vértices y dónde puedo encontrar más información sobre él? 112 es el doble de 56, el número de facetas del diplo-símplex 7D, el único politopo de Delaunay de E7*, y el número de 1_22 facetas del politopo 1_32 que comprende el panal 1_33, si no me equivoco.

Entonces, ¿cuáles son las relaciones entre estos entramados U14, C2G23, A15+ y los empaquetamientos 7D E7, E7*, 1_33 honeycomb y dónde puedo aprender más?

-- La red A15+ tiene una distancia entre vecinos más cercanos sqrt(2) y sus agujeros tienen un radio de 1,3228756, aparentemente sqrt(7)/2.

-- La red U14 tiene una distancia de vecinos más cercanos sqrt(2) y sus agujeros tienen también un radio de 1,3228756.

(3C) ¿Puede proporcionar alguna referencia en la que se discutan estas igualdades entre la profundidad de los agujeros y la distancia NN para las redes U14 y A15+?

(3D) ¿Puede proporcionar alguna referencia en la que se discutan los politopos de Delaunay de U14, C2xG23 o A15+ y sus relaciones? ¿Hay algo que indique que los grupos de simetría asociados pertenecen al modelo estándar de la física de partículas?

Se agradecerá cualquier respuesta,

Gracias, Dan

Answer 1

• La respuesta a la pregunta (0) sobre $U_{14}$ es positivo, como se describe en el Documento Conway-Odlyzko-Sloane :

  Dejemos que $E_8$ sea el entramado en $\mathbb R^8$ con sus ocho coordenadas todas en $\mathbb Z$ o todo en $\mathbb Z + 1/2$ , con suma par y $E_7$ sea la subred de $E_8$ con $x_1 + ... + x_8 = 0$ .

  Entonces $U_{14}$ es la suma de $E_7+E_7$ y el vector $((\frac14)^6,(-\frac34)^2,(\frac14)^6,(-\frac34)^2)$ .

• Las respuestas a la pregunta (0) sobre $Q_{14}$ , $A_{15}^+$ La pregunta (1) y la pregunta (2) pueden ser negativas, como indican las grandes diferencias de sus grupos de automorfismo:

  Para cada red, calculé los vectores más cercanos a $0$ y estudiar el grupo de automorfismo (como subgrupo del grupo ortogonal) de esos vectores. Este es un supergrupo del verdadero grupo de automorfismo.

  Los resultados son:

  Grupo

  Aut(vectores más cercanos)

  $U_{14}$

  $W(E_7) \wr C_2$

  $Q_{14}$

  $C_2 \times G_2(3)$

  $A_{15}^+$

  $C_2 \times S_{16}$

  donde $W(E_7)$ es el grupo de Weyl de $E_7$ y $\wr$ es el producto de la corona.

  El grupo de automorfismo de $Q_{14}$ es ya calculado y es $C_2 \times G_2(3)$ .

  Las definiciones dadas en el documento de Conway-Odlyzko-Sloane indican que su grupo de automorfismo contiene $S_{16}$ , por lo que tenemos $S_{16} \subset Aut(A_{15}^+) \subset C_2 \times S_{16}$ .

  Para $U_{14}$ También he calculado el grupo de automorfismo de los vectores con distancia $\sqrt 2$ y $\sqrt 3$ de $0$ y también es $W(E_7) \wr C_2$ . Como los vectores con distancia $\sqrt 2$ y $\sqrt 3$ de $0$ generar todo el $U_{14}$ Resulta que $Aut(U_{14})=W(E_7) \wr C_2$ .

EDITAR : La respuesta anterior también resuelve (3B) para $U_{14}$ y $A_{15}^+$ : para $U_{14}$ los vectores más cercanos son la unión de dos vectores ortogonales $2_{31}$ politopos y para $A_{15}^+$ los vectores más cercanos son los vectores en $\mathbb{R}^{16}$ que contiene un $1$ , a $-1$ y 14 $0$ s.