Dejemos que $a(n)$ sea el $n$ coeficiente de Fourier de una eigenforma de Hecke normalizada $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n$ de peso $k$ con respecto al grupo modular completo, donde $q=e^{i2\pi z}$ .
Un nuevo trabajo [1] tiene el siguiente resultado.
"Probamos para $100\%$ de los primos $p$ que \begin{equation} 2p^{\frac{k-1}{2}}\frac{\log \log p}{ \sqrt{\log p}} < |a_f (p)| < 2p^{\frac{k-1}{2}}. \end{equation} Los autores afirman que esto es cierto en un subconjunto de primos de densidad uno, los detalles completos se dan en el Teorema 1.1.
Otro trabajo reciente [3] tiene el siguiente resultado.
\begin{equation} |a_f (n)| < 2p^{\frac{k-1}{2}}\left (\log n\right)^{-1/2+o(1)} \end{equation} en un subconjunto de enteros de densidad uno, los detalles completos se dan en el Teorema 1.
Y un antiguo trabajo [2] tiene el siguiente resultado.
"Corolario 2. Para una densidad positiva de primos $p$ tenemos \begin{equation} |a(p)|> \left(\sqrt{2}-\epsilon\right)p^{\frac{k-1}{2}}. \end{equation} En [3], página 441, el autor demuestra que
\begin{equation} |a(n)|> \left(\sqrt{2}-\epsilon\right)n^{\frac{k-1}{2}}e^{c\log n /\log \log n}, \end{equation} para alguna constante $c>0$ que es verdadera en un subconjunto de densidad positiva.
Pregunta. ¿Se puede tener un par de subconjuntos disjuntos de primos de densidad uno como en el Teorema 1.1, y de densidad positiva como en el Corolario 2?
En otras palabras, ¿el Corolario 2 contradice el Teorema 1.1 de [1] o el Teorema 1 de [3]?
Gracias por sus valiosos comentarios.
[1] Ayla Gafni, Jesse Thorner, Peng-Jie Wong; Casi todos los primos satisfacen la conjetura de Atkin-Serre y no son extremos; arXiv:2003.09026; doi 10.1007/s40993-021-00258-w
[2] M. Ram Murty; Oscilaciones de los coeficientes de Fourier de las formas modulares; Math. Ann. 262, 431--446 (1983.
[3] Florian Luca, Maksym Radziwill, Igor E. Shparlinski; Sobre el tamaño típico y las cancelaciones entre los coeficientes de algunas formas modulares; arXiv:1308.6606.
Nota: La pregunta fue editada por los comentarios.
