El conjunto de Mandelbrot como mapa de Poincaré de un sistema dinámico (hamiltoniano)

Question

La famosa relación de recursión $$z_{n+1} := z_n^2 + c$$

definiendo el Conjunto de Mandelbrot puede ser visto como un 2D Mapa de Poincaré de mayor dimensión sistema dinámico con un valor inicial $z_0=c$ de la recurrencia determinada por las condiciones iniciales de dicho sistema dinámico.

1. ¿Existe tal sistema dinámico?
2. ¿Puede preservar el volumen de fase (hamiltoniano)?
3. ¿Cómo construir un ejemplo explícito del flujo correspondiente?

Mi motivación es situar la recursión de Mandelbrot en el contexto de un curso de introducción a la mecánica analítica en el que discutimos los límites fractales de las regiones del espacio de fase con dinámica caótica.

Answer 1

Sí se puede construir ese flujo.

Así que tienes tu función $f_c : \hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}, z \mapsto c + z^2$ ( $\hat{\mathbb{C}}$ es la esfera compleja, es decir, el espacio complejo más un punto en el infinito).

Ahora toma cualquier función $h: \hat{\mathbb{C}} \to \mathbb{R_{>0}}$ y definir el siguiente espacio $\hat{\mathbb{C}} \times \mathbb{R}/(x,h(t))\sim(f_c(x),0)$ Entonces tienes un flujo natural $$ T_t:(x,s)=\left \{ \begin{matrix} (x,t+s) \text{ if }t+s\leq h(x) \\ (f_c(x),t+s-h(x)) \text{ otherwise} \end{matrix} \right . $$ Entonces su función es el mapa de retorno al subconjunto $\hat{\mathbb{C}} \times \{0\}$ . Como esto ocurre en un conjunto compacto hay al menos una medida invariante, pero no estoy seguro de que sea continua con respecto a la medida de Lesbegue (sospecho que la medida ergódica es Dirac por una línea o fractal,...). Así que para tu segunda pregunta es mayormente no.

Si las cosas no están claras, puede consultar la Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Suspension_(sistemas_dinámicos) ) o esta tesis de máster https://scholarsarchive.byu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=9389&context=etd