¿Cómo puedo demostrar las siguientes propiedades del símbolo de Legendre?

Question

¿Cómo puedo demostrar estas propiedades del símbolo de Legendre?

Answer 1

Si $a\equiv b \mod p$

si $a$ es un residuo cuadrático entonces $x^2\equiv a \mod p$ y $\left(\frac ap\right)=1$

como $a\equiv b \mod p$
$x^2\equiv b \mod p$ así que $b$ es también un residuo cuadrático por lo que $\left(\frac bp\right)=1$ así que $\left(\frac ap\right)=\left(\frac bp\right)$

si $a$ no es un residuo cuadrático entonces $\left(\frac ap\right)=-1$ como $a\equiv b \mod p$ así que $b$ tampoco es un residuo cuadrático $\left(\frac bp\right)=-1$

así que una vez más $\left(\frac ap\right)=\left(\frac bp\right)$

en cuanto a la segunda parte lo que sea $a$ es si $x^2\equiv a^2 \mod p$ entonces $a^2$ es un residuo cuadrático por lo que $\left(\frac {a^2}p\right)=1$