Valor esperado y varianza de las combinaciones de mármol

Question

Tienes 12 canicas: 5 son bermellón, 4 son esmeralda y 3 son ultramar. Las divides al azar en cuatro grupos de 3 para dárselas a tus cuatro mejores amigos. Deja que $X$ es el número de amigos que reciben 3 canicas de todos los colores distintos (una canica de cada color). Encontrar $E[X]$ y $Var[X]$ .

Tengo problemas con mi enfoque. Empecé por definir una variable aleatoria indicadora $$X_i = \begin{cases}1 &\text{if $i-th$ friend gets all 3 distinct marbles}\\0 &\text{otherwise}\end{cases}$$

Dejemos que $A_i$ denotan el caso de que el amigo $i$ recibe 3 canicas distintas. Entonces $E[X_i]=P(A_i)$ y $E[X]=\sum_1^4E[X_i]=\sum_1^4 P(A_i)$ . El problema es doble. En primer lugar, tengo problemas para calcular $P(A_i)$ . Pensé que se trataría del multinomio, es decir: $$P(A_1)=\frac{3!}{\binom{12}{3,3,3,3}}$$ ya que el número total de arreglos proviene de dividir 12 objetos en 4 grupos de 3 y hay 3! maneras de arreglar 3 canicas distintas. Pero asumo que el denominador es incorrecto ya que los objetos no son todos distintos.

Entonces el problema es calcular las probabilidades posteriores, ya que no son independientes. El hecho de que el primer amigo obtenga 3 canicas distintas debería influir sin duda en la probabilidad de que el segundo amigo reciba 3 canicas distintas. No estoy seguro de cómo cambiar mi enfoque.

Answer 1

Cuando se calcula una probabilidad como el cociente entre el número de casos favorables y el número total de casos, hay que asegurarse de contar el mismo tipo de cosas en el numerador y en el denominador. En el numerador, estás contando los diferentes órdenes de las canicas dadas a un amigo, mientras que en el denominador estás contando las diferentes selecciones de canicas dadas a todos los amigos, ignorando el orden dentro del regalo de cada amigo - son dos recuentos bastante diferentes, por lo que su cociente no tiene ningún significado y no es la probabilidad que quieres.

No es necesario distinguir los resultados según el orden dentro del regalo de cada amigo (todos los resultados tienen el mismo número de tales órdenes, $3!^4$ por lo que este factor se anularía en el cociente si se incluyera); y tampoco es necesario distinguir las formas de dividir el resto de $9$ canicas entre las restantes $3$ amigos (de nuevo porque el recuento de estas formas es el mismo independientemente de las canicas que se le den al amigo $i$ por lo que sólo se cancelaría en el cociente). Todo lo que necesitas es el cociente entre las selecciones favorables para el amigo $i$ y el número total de selecciones para el amigo $i$ .

Hay $5\cdot4\cdot3$ triples diferentes de canicas con colores distintos (ya que se puede elegir independientemente una canica de cada color), y un total de $\binom{12}3$ triples de canicas seleccionadas de la $12$ canicas, así que

$$ E[X_i]=P(A_i)=\frac{5\cdot4\cdot3}{\binom{12}3}=\frac3{11}. $$

No estoy seguro de lo que quieres decir con "probabilidades subsiguientes" que no son independientes. Esto es suficiente para encontrar $E[X]$ para encontrar $\operatorname{Var}[X]$ también necesitas $E\left[X_i^2\right]=E[X_i]$ (ya que $X_i^2=X_i$ ) y $E[X_iX_j]=P(A_i\cap A_j)$ para $i\ne j$ que debes determinar por separado de forma similar a como determiné $E[X_i]$ arriba.