¿Cuáles son las implicaciones conocidas de "Existe un cardinal de Reinhardt" en la teoría "ZF + j"?

Question

Por desgracia, se trata en gran parte de una serie de preguntas sobre un trabajo inédito de Hugh Woodin; también es bastante frívolo que los cardenales de Reinhardt resulten incoherentes.

Definiciones:

Llame a $\kappa$ un $I-1(\kappa,\delta)$ cardinal si es el menor ordinal elevado por una incrustación elemental no trivial $j:V_{\delta+2} \to V_{\delta+2}$ donde $\delta$ es un cardinal límite fuerte incontable de cofinalidad contable y el sumo de la secuencia crítica $\kappa_n$ .

Llame a $\kappa$ un cardenal débil de Reinhardt si es $I-1(\kappa,\delta)$ hay un ordinal $\gamma \gt \delta$ y subestructuras elementales $V_{\kappa} \prec V_{\delta} \prec V_{\gamma}$ .

Llame a $\kappa$ un cardinal de Reinhardt si es el punto crítico de $j:V \to V$ .

Llame a $ZFR$ la teoría de la base $ZF$ en la lengua $(\in,j)$ aumentada con un esquema que afirma $\{\exists\kappa\mid \kappa\text{ is Reinhardt}\}$

Pregunta 1: ¿Qué es lo que $ZFR$ ¿Implicar?

El folklore de Woodin menciona una prueba que $ZFR$ implica la existencia de modelos de todos los grandes axiomas cardinales no conocidos para refutar la Elección. ¿Cuál es la prueba $ZFR \implies$ "Existe un modelo transitivo de $ZFC + I1(\kappa,\delta)$ ", y por qué no se extiende inmediatamente a una prueba de "Existe un modelo transitivo de $ZF + DC_{\delta} + I-1(\kappa,\delta)$ "?

Los cardinales de Reinhardt satisfacen (trivialmente) cualquier propiedad de cardinal grande derivada de $j:V \to M$ y así son ellos mismos al menos $I2$ en cierto sentido, pero no sé cómo proceder más allá, y Woodin menciona con frecuencia que no se conoce ninguna prueba de la implicación esperada Reinhardt $\implies$ débil Reinhardt. Y aunque David Asperò ha publicado recientemente en Una breve nota sobre los cardenales de gran tamaño una buena prueba de que los cardenales de Reinhardt implican muchas $j:V_{\mu} \to V_{\mu}$ con el objetivo de la incrustación movido arbitrariamente, estos $\mu$ están mal limitados y $V_{\mu}$ en general no satisface ni la Sustitución ni la Elección. Por lo tanto, es posible que ni siquiera se clasifiquen en el sentido habitual.

Pregunta 2: ¿Qué es lo "siguiente" después de $ZFR$ ?

El raro tomo Sobre las investigaciones de Woodin en "Here there be Dragons" contiene una prueba de que $j:HOD \to HOD$ se desprende de una fuerte extensión de $ZFR$ . ¿Qué es esta extensión?

El axioma más fuerte que recuerdo haber encontrado en la literatura es un esquema que afirma que hay una subestructura elemental $V_{\kappa} \prec V$ . Aunque sea peligrosamente fuerte, este axioma no es super $n$ -útil para determinar qué tipo de estructura cardinal está duplicando el cardenal Reflecting Reinhardt. Así que espero que la respuesta sea otra, más útil para establecer las respuestas a la pregunta 1.

Pregunta 3: ¿Cuál es el objetivo?

¿Están estos grandes cardenales muy grandes insinuando si el Axioma de Elección restringe la fuerza de consistencia de $ZFC$ ¿o no?

Aquí llegamos a la suave y turbia motivación que hay detrás de estas preguntas. A la luz del Teorema de la Incongruencia de Kunen, es posible preguntarse si el Axioma de la Elección es pariente cercano del Axioma de la Constructibilidad, algo que pone un límite agudo a la cantidad de fuerza de la consistencia $ZF$ puede apoyar. Según esta interpretación, si $I-1(\kappa,\delta)$ es coherente con $ZF$ entonces no hay ningún axioma cardinal grande equiconsistente con $ZFC$ . Y aunque hay varios chanchullos que podemos realizar para colar la fuerza de nuevo (por ejemplo, trabajar en $ZFC +$ Con( $ZFR$ )), estos no nos dicen mucho sobre lo que $V$ es como. Además, plantean la cuestión de por qué no deberíamos trabajar en $ZFC + V=L$ y obtener nuestras mediciones de algunos $j:M \to N$ El Axioma de Constructibilidad hace el mismo trabajo que la Elección en este contexto, pero mejor.

Por el contrario, también es posible preguntarse si es la restricción de definibilidad de $V=L$ que lo hace tan inhóspito para los cardenales grandes, y asumir que si un axioma prospectivo es demasiado fuerte para el notoriamente no constructivo Axioma de la Elección, entonces era directamente inconsistente para empezar y la Elección ha facilitado simplemente la prueba. Woodin $HOD$ La conjetura es un trabajo en esta línea (refuta $I-1(\kappa,\delta)$ ), e incluso si el $HOD$ La conjetura es falsa, $I-1(\kappa,\delta)$ puede ser inconsistente por alguna razón actualmente desconocida.

El tipo de evidencia relevante que estoy buscando es una gran propiedad cardinal o un axioma forzoso que:
1. es muy fuerte en ZFC
2. es más débil pero no trivial en ZF
3. indica que alguna propiedad un cardenal de Reinhardt debe se ha filtrado a través de la ausencia de ordenación de algunos $P(\aleph_{\alpha})$

Los dos primeros criterios los cumplen unas pocas cosas que se me ocurren, incluyendo por ejemplo algunas generalizaciones de la Conjetura de Chang más allá de $(\omega_{3},\omega_{2}) \to (\omega_{2},\omega_{1})$ Pero estas generalizaciones, o bien tienen una estructura cardinal que no ilumina el tercer requisito, o bien tienen una estructura cardinal que me parece desconcertante y poco manejable. (Y sí, ese tercer requisito es tan vago que la pregunta puede no admitir respuesta aunque exista un ejemplo. Si supiera cómo hacer que se enuncie con precisión alguna de esas propiedades, lo haría, pero en general no sabemos cuáles son esas propiedades).

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Primer post en este sitio; no es un desaire si no respondo en los comentarios =)

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Editar:

Hola Joel, y gracias por la cálida bienvenida. Para $ZFR$ Yo quería
1. Todos los Axiomas de $ZF$ en la lengua $\{\in\}$
2. Sustitución de fórmulas en la lengua $\{j,\in\}$
3. Un esquema axiomático que afirma $j:\langle V,\in \rangle \to \langle V,\in \rangle$
...y no es que haya muchos puntos críticos. Sin embargo, esto es probablemente un error (o al menos demasiado específico) y con gusto sustituiré cualquier formalización de " $ZF$ + Hay un cardinal de Reinhardt" que no obliga a que la incrustación, por elementalidad, sea la identidad, aunque esa formalización esté implícita y se entienda en una metateoría totalmente bipolar. Especialmente si eso es lo que Woodin tenía en mente para sus pruebas.

Y sí, los dos primeros requisitos deberían ser bastante fáciles de formalizar (aunque también me gustaría $ZF + \psi \vDash$ Con( $ZF$ ) $\wedge$ $ZFC + \varphi \vDash$ Con( $ZF + \psi$ ) como mínimo). Es el tercer requisito el que no sé cómo formalizar sin una noción aplicable y rigurosa de "gran propiedad cardinal". La de Woodin no será suficiente en toda su generalidad cuando no sé cómo expresar una propiedad dada como alguna $j:V \to M$ con las restricciones adecuadas en $M$ . Y en el caso de los cardenales Reinhardt, ni siquiera estoy seguro de qué propiedades esperar.

El axioma de plenitud de Corazza es presque exactamente lo que estoy buscando, gracias por el recordatorio. El fracaso de la sustitución de $j$ -clases actúa como una válvula de presión, impidiendo que la secuencia crítica forme un conjunto, y evitando así el absurdo de cof $(Ord) = \omega$ y reducir la fuerza de consistencia de los cardenales Reinhardt a algo más débil que $I3(\kappa,\delta)$ y más fuerte que un super cardenal $n$ -enorme para todos $n \in \omega$ que es bastante manejable. Desgraciadamente, descarta la misma enormidad que el teorema de Kunen, y no aporta nueva información sobre cómo debe aparecer un cardinal totalmente Reinhardt.

Creo que ¡Estaría bien equivocarse en eso! Y tú lo has estudiado más que la mayoría.

Answer 1

Lo siguiente se debe a Woodin:

Teorema. Supongamos que $ZF$ + existe un cardinal de Reinhardt + existe una clase propia de cardinales supercompactos es consistente. Entonces existe una extensión genérica del universo que satisface $ZF$ + el axioma de elección + existe una clase propia de cardinales supercompactos, y tal que en ella la de Woodin $HOD$ la conjetura falla.

Answer 2

Primero, demostremos que I-1 implica a I0:

Supongamos que $I-1(\kappa,\delta, j)$ Podemos suponer, forzando si es necesario, que $V_\kappa$ (y por lo tanto $V_\delta$ ) satisface el axioma de elección. Ahora bien, si j es una incrustación de rango a rango $V_\delta \prec V_\delta$ tiene una extensión única a un $j' : V_{\delta+1} \prec_{\Delta^1_0} V_{\delta+1}$ (es decir, sólo conserva las propiedades con cuantificadores en $V_\delta$ ) dado por $j'(S) = \cup_i j(S \cap \kappa_i)$ ; si $I1(\kappa,\delta,j)$ entonces la incrustación será totalmente ("de segundo orden") elemental.

Así que dejar que $j'$ sea la incrustación $j|V_{\delta+1}$ Debemos tener que $j' \in HOD(V_{\delta+1})$ y puede extenderse a algunos $k : HOD(V_{\delta+1}) \to M \subseteq HOD(V_{\delta+1})$ para alguna clase transitiva $M$ . Por el lema de la condensación, $k$ se restringe a una incrustación $L(V_{\delta+1})$ a sí mismo, y hemos demostrado que $I0(\kappa, \delta)$ sostiene. Además, $HOD(V_{\delta+1})$ debe satisfacer Choice, porque cualquier suryección en $V_{\delta+1}$ tendrá inversa en $M \cap V_{\delta+2}$ por la elementalidad de $k$ .

Ahora bien, si $\kappa$ es Reinhardt, entonces $I-1(\kappa, \delta)$ se mantiene, ya que $\delta$ es un punto fijo de $j$ (por construcción, es el menor punto fijo más allá de $\kappa$ ).

Por supuesto, no sabemos que $k = j$ Por lo tanto, no podemos concluir de este argumento que $k : HOD \prec HOD$ . De la misma manera, no conseguimos $DC(V_\delta)$ ya que sólo sabemos que la elección es válida en $V_\delta$ .

Answer 3

Esta respuesta se limita a la pregunta 3. Sugiero que se considere que el Axioma de Elección (AC) impone un límite agudo a la reflexión. En particular, para una incrustación elemental j con punto crítico κ y múltiples iteraciones de j(κ), y donde la reflexión es desde el nº iterado de j(κ) al mº iterado, para m menos que n, AC pone el límite "n menos que ω" en dicha reflexión, como muestra el teorema de Kunen; es decir, AC requiere que n sea aquí un número entero.

Tomo esto como un análogo, dentro del lenguaje de ZF, al siguiente límite informal de la reflexión: si decimos que el universo V es tal que todos los enunciados verdaderos S sobre V se reflejan, necesitamos restringir el rango de S a (por ejemplo) oraciones del lenguaje de ZF, ya que de otra manera podríamos ser llevados a ver la oración "Todos los enunciados verdaderos S sobre V se reflejan" como si estuviera en el rango de S y por lo tanto como si se reflejara, lo que lleva a un conflicto obvio con la Regularidad. En otras palabras, necesitamos que nuestros principios de reflexión estén libres de autorreferencia.

El teorema de Kunen también se refiere a una situación que implica una especie de autorreferencia, o circularidad. A saber, para λ el iterado ω de j(κ), tenemos j(λ)=λ, de modo que j(λ) está, en efecto, presente en la propia expresión "j(λ)". Y el reflejo de λ es, al mismo tiempo, el reflejo de j(λ), que es lo que finalmente lleva a la contradicción que obtiene Kunen. Así que, usando la analogía anterior, se puede ver que AC desempeña el papel deseable, dentro del lenguaje de ZF, de evitar la autorreferencia en la reflexión; y como tal, AC está haciendo algo diferente al Axioma de Constructibilidad. El abandono de la sustitución de Corazza es otra forma de evitar dicha autorreferencia, pero dentro de una versión modificada del lenguaje de ZF.

Lo que propongo aquí es que hay límites en la reflexión, y que dentro del lenguaje de ZF, AC es valioso (en parte) porque indica claramente un límite importante de este tipo. En mi opinión, dejar de lado AC no nos quita o libera del límite en sí; sólo nos impide ver o captar el límite. De ahí que sea escéptico sobre la sostenibilidad de los cardenales de Reinhardt.

Answer 4

Mientras buscaba un enlace para algo que no tiene nada que ver, encontré la siguiente respuesta a la pregunta 2 en Wikipedia jeje. Si estoy leyendo correctamente tenemos:

$J1$ : Existe $\kappa$ tal que para cada ordinal $\alpha$ existe un $j:V \to V$ con $\kappa$ como su punto crítico y $j(\kappa) \gt \alpha$

A continuación, procedemos a "añadir una ordenación genérica de V" (destruyendo así el $J1$ cardenal y probablemente mucho más) y se quedan con $V$ satisfaciendo $ZFC + \exists j:HOD \to HOD$ . Es de suponer que la elección global se añade por forzamiento (pero ¿qué forzamiento y qué conserva?) y el lenguaje es Kelly Morse - Choice en lugar de $ZF$ . No hay referencias, por desgracia, ni se espera que haya más allá de la "comunicación privada".

Esto sugiere al menos que la investigación de la estructura de $V$ debajo de el primer cardenal Reinhardt debe iluminar qué extensiones puede admitir.

Implausibilidad: $\kappa$ el punto crítico de $j: V_{\delta+n+1} \to V_{\delta+n+1}$ está precedido por un número estacionario de $\bar{\kappa}$ que son puntos críticos de incrustaciones $j: V_{\bar{\delta}+n} \to V_{\bar{\delta}+n}$ . Es cierto para $n=0$ .

Woodin ha demostrado en algún lugar que $J1$ implica la consistencia de $J2$ : $\kappa$ es Reinhardt, $\lambda$ es, como es habitual, el primer punto fijo de la incrustación, y la elección dependiente se mantiene para secuencias de longitud $\lambda$ . Si los cardenales de Reinhardt satisfacen por definición $j: V_{\delta+3} \to V_{\delta+3}$ , la implausibilidad implica muchos $j: V_{\delta+2} \to V_{\delta+2}$ por debajo del menor cardenal Reinhardt. A continuación, $DC_{\lambda}$ no pudo aguantar, y $J2$ sería incoherente. Así que una forma de producir evidencia abductiva para estas hipótesis que se avecinan sería exhibir un modelo en el que el menor $I1(\kappa,\delta)$ cardenal es $I-1(\kappa,\delta)$ o un modelo sin $I-1(\kappa,\delta)$ cardenales por debajo del menor cardenal de Reinhardt (debe haber estacionalmente muchos $I3(\kappa,\delta)$ cardenales al menos).

¡Demasiado difícil para mí en este momento! Esperaré un poco más para aceptar una respuesta con la esperanza de exasperar a alguien para que corrija todo esto.