factor: $x^{\alpha-2}~(1-x)^{\beta-2}~\bigg((\alpha-1)(1-x)-(\beta-1)x\bigg)=0$

Question

Empecé con una prueba para encontrar los máximos de una distribución beta $Beta(x: \alpha, \beta)$ . Se trata de hallar la derivada de la distribución beta e igualarla con cero para obtener la siguiente ecuación raíz:

$$x^{\alpha-2}~(1-x)^{\beta-2}~\bigg((\alpha-1)(1-x)-(\beta-1)x\bigg)=0$$

Ahora me pregunto, ¿cuál es la técnica para factorizar la expresión anterior en esta expresión?

$$(\alpha-1)-x(\alpha + \beta -2) = 0$$

Lo que lleva a la conclusión de la prueba para los máximos de una distribución beta:

$$x = \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$$

Answer 1

$$y=x^{\alpha-2}~(1-x)^{\beta-2}~\bigg((\alpha-1)(1-x)-(\beta-1)x\bigg)=0 \tag1$$

$$y=x^{\alpha-2}~(1-x)^{\beta-2}(r)=0$$

Ampliar $r$ :

$$r=\alpha-\alpha x-1+x-\beta x +x$$

Grupo para $x$ :

$$r=\alpha -1 + x(-\alpha +1 -\beta+1))$$

$$r=\alpha -1 + x(2-\alpha -\beta))$$

Cuando $r=0$ , $$x(2-\alpha -\beta))=1-\alpha$$

$$x=\frac{1-\alpha}{2-\alpha -\beta}$$

Multiplica el numerador y el denominador por $-1$ lo consigues: $$x = \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$$

Supongo que esto responde a tu pregunta.

Sin embargo, ¡no veo que este sea el enfoque para resolver (1)!

Answer 2

Raíces en x=0:

$x^{\alpha-2}=0$

Raíces en x=1:

$(1-x)^{\beta-2}=0$

Raíz entre 0 y 1:

$((\alpha-1)(1-x)-(\beta-1)x)=0$

Resuelve esta última expresión para x.