¿Por qué se comportan tan mal las series lacunares?

Question

¡Hola!

Acabo de encontrarme con el Teorema de la brecha Ostroski-Hadamard y aunque puedo entender las pruebas así como la principio que la serie $\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}$ debería tener una singularidad en cada $2^n$ -raíz de la unidad para cada $n$ , siento que me falta algo de intuición sobre lo que está pasando exactamente.

En concreto, existe ciertamente la intuición de que cuanto más rápido disminuyan los coeficientes de una serie de potencias, mayor será el radio de convergencia, por ejemplo, comparando la serie geométrica con la serie de potencias exponencial. Cuando se contrasta con las series lacunares, esto parece fallar: los coeficientes parecen ser cada vez más "pequeños", al menos en un sentido medio, pero la función se vuelve terriblemente mala. (Se podría intentar argumentar que en el sentido de Cesàro los coeficientes sí tienden a cero: si $\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ entonces $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n a_k\approx\frac{\lfloor\log_2(n)\rfloor}{n}\rightarrow0$ como $n\rightarrow\infty$ . Por otro lado, la serie de potencias $\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k}$ aunque tiene el mismo radio de convergencia, puede fácilmente, aunque no de forma única, extenderse analíticamente a todo el plano complejo; yo esperaría lo mismo de cualquier serie de la forma $\sum_{k=0}^\infty \frac{\log(k)}{k}z^k$ .)

¿Alguien puede compartir alguna idea?

Answer 1

Puede leer más sobre esto en la excelente encuesta

J.-P. Kahane: A century of interplay between Taylor series, Fourier series and Brownian motion, Bull. London Math. Soc. de Londres. 29 (1997), 257-279

En concreto, de esta encuesta se desprende que el fenómeno que mencionas es bastante típico. Merece la pena echarle un vistazo.

Answer 2

Tal vez tu pregunta sea al revés. El límite natural en el radio de convergencia es lo habitual, y la continuación analítica fuera del círculo de convergencia es la casualidad. Sólo las series MUY ESPECIALES tienen continuación.

Answer 3

El mencionado teorema de la brecha fue generalizado por Fabry (Acta Math. 1899, pp. 65-87): si la serie de potencias $f(z)=\sum_n a_n z^{\lambda_n}$ tiene un radio de convergencia $1$ y los exponentes $\lambda_n\in\mathbb{N}$ satisfacer $\lambda_n/n\to\infty$ entonces el círculo unitario es un límite natural para $f(z)$ .

Turán (Acta Math. Hung. 1947, págs. 21-29) dio una prueba sencilla que podría proporcionar alguna idea del fenómeno. Su desigualdad principal, de la que deduce el resultado, es la siguiente

$$ \max_{0\leq x\leq 2\pi}\ \left| \sum_{n=1}^N a_n e^{i\lambda_n x} \right| \leq \left(\frac{48\pi}{\delta}\right)^N \max_{a\leq x\leq a+\delta}\ \left| \sum_{n=1}^N a_n e^{i\lambda_n x} \right| $$

En otras palabras, la característica clave parece ser que en cada arco del círculo unitario, las sumas parciales están considerablemente acotadas lejos de cero. Para más detalles recomendaría estudiar el artículo de Turán.

Answer 4

"¡Objeción, la pregunta asume hechos que no están en evidencia!"

Hablando de la cuestión general como en el título, me pregunto en qué medida podemos decir que las series lacunares se comportan especialmente mal. Tal vez la cuestión sea simplemente que una forma lacunar facilita la construcción de series de mal comportamiento, lo cual es ligeramente diferente. Un ejemplo: sabemos que una función entera real $f$ con coeficientes reales, puede crecer tan rápido como cualquier función creciente sobre $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y la construcción un ejemplo es fácil por medio de series lacunares. Pero $f(z+1)$ crece aún más rápido, aunque la traducción destruye la forma lacunar.

Answer 5

1. La intuición es sencilla. Considere el ejemplo $f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}.$ Esta función satisface la ecuación funcional $f(z^2)=z^2+f(z)$ . En el rayo positivo, evidentemente tenemos $f(r)\to\infty$ como $r\to 1$ y la ecuación funcional muestra que lo mismo debe ocurrir en todos los rayos $\{ re^{i\theta}:0<r<1\}$ para $\theta=k/2^n$ . Como estos rayos son densos, todos los puntos límite del disco unitario deben ser singulares. Hadamard observó que la naturaleza aritmética especial de la secuencia $2^n$ es irrelevante aquí, basta con suponer que $ \liminf m_{n+1}/m_n>1$ . Esto es una aplicación del principio general: una serie lacunar se comporta de la misma manera en todas las direcciones. Así, si el radio de convergencia es $R<\infty$ entonces todos los puntos $Re^{i\theta}$ debe ser singular.

2. La forma final de este teorema se debe a E. Fabry, y se denomina "teorema de la brecha de Fabry", que implica, por ejemplo, que $\sum_{n=0}^\infty z^{n^2}$ es singular en cada punto límite del círculo de convergencia. Este teorema de la brecha es a su vez un caso muy especial del "Teorema General de Fabry". La mejor fuente para todo esto es el libro alemán de L. Bieberbach, Analytische Fortsetzung, Springer 1955, salvo que está algo desactualizado. En él se describe con gran detalle la historia del Teorema General de Fabry y los resultados relacionados. Para una exposición moderna de los teoremas de Fabry en inglés, recomiendo mis artículos

MR2595767 Eremenko, Alexandre, Densidades en el teorema de Fabry. Illinois J. Math. 52 (2008), no. 4, 1277-1290, y

MR2431054 Eremenko, Alexandre, Una versión del teorema de Fabry para series de potencia con coeficientes que varían regularmente. Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), no. 12, 4389-4394.

Observación. Alexandr Ostrowski tenía 5 años cuando Fabry publicó su teorema general. Así que no está claro por qué el autor de la Wikipedia lo llama "Hadamard-Ostrowski".

Observación 2. Un analista complejo no describirá este comportamiento como "mal comportamiento". De todos modos, este comportamiento es típico de las funciones analíticas, tanto en el sentido de la categoría Baire como en el sentido de la medida.