Una caracterización de los dominios Dedekind

Question

Dejemos que $A$ sea un dominio integral, y que los ideales no nulos de $A$ bajo la multiplicación ideal es un monoide conmutativo libre, entonces $A$ es un dominio Dedekind.

Por dominio Dedekind entendemos un dominio normal noetheriano de dimensión $1$ o, de forma equivalente, un dominio cuyos ideales fraccionarios forman un grupo, o, de forma equivalente, todo ideal no nulo es un producto de ideales primos.

Esto aparece en Larsen, Max D., y Paul J. McCarthy. Multiplicative theory of ideals. Academic press, 1971. , ejercicio VI.14, y también en algún lugar de Zariski-Samuel como ejercicio.

Hay varias formas de intentar hacerlo. En primer lugar, es probable que ser un monoide conmutativo libre implique $I \supset J \Rightarrow I \mid J$ pero si recordamos que incluso conocemos a priori la base formada por ideales primos, esto no es tan directo.

En segundo lugar, sé (a partir de varias propiedades de los dominios de Prüfer) que un dominio noetheriano que satisface la condición es un dominio Dedekind, por lo que se puede proceder mostrando que cada ideal (primo) es invertible, o simplemente finitamente generado. Aun así, no lo consigo.

Answer 1

Véase el teorema 8 en el papel: La ley de cancelación de ideales en un anillo conmutativo responde al ejercicio VI.14 en https://promathmedia.files.wordpress.com/2013/09/multiplicative-theory-of-ideals.pdf .