Embalaje descuidado

Question

La secuencia $\frac{1}{2}, \frac{1}{2\cdot 2}, \frac{1}{3\cdot 4}, \frac{1}{4\cdot 6}, \frac{1}{5\cdot 8}, \frac{1}{6\cdot 10},\ldots$ tiene una curiosa propiedad, la siguiente:

a) la serie con estos términos suma 1;

b) ningún proceso de empaquetamiento secuencial de intervalos abiertos con estas longitudes en el intervalo unitario $[0,1]$ puede llegar a un punto muerto.

Muchas otras secuencias también disfrutan de esta propiedad.

Pregunta: ¿ha aparecido alguna vez este tipo de fenómeno en la literatura?

En particular me pregunto sobre las posibles descomposiciones (hasta un conjunto de medida cero) de, por ejemplo, el cuadrado unitario (o la esfera unitaria) en conjuntos abiertos que disfruten de la propiedad correspondiente.

Answer 1

Se trata de una justificación rigurosa de la intuición de Johan Wästlund. Concretamente, demostraré que si embaldosamos una bola redonda $B$ de la zona $\pi\zeta(\alpha)$ por bolas redondas de área $\pi/n^\alpha$ para algunos $1<\alpha<1.1716$ Entonces nunca nos quedamos atascados siempre que hayamos colocado ya suficientes bolas.

Para su uso posterior, tenga en cuenta que el radio de $n$ 'La pelota es $n^{-\alpha/2}$ . Supongamos que hemos colocado el primer $N-1$ bolas. Deje que $U$ sea la unión de ellos, y que $U'$ sea el complemento de $B$ . Podemos colocar $N$ 'th ball iff the $N^{-\alpha/2}$ -vecino de $U\cup U'$ no contiene todos los $B$ . Podemos acotar el área de la vecindad de $U$ por $$\sum_{n < N} \pi(n^{-\alpha/2}+N^{-\alpha/2})^2=\sum_{n < N} \pi(n^{-\alpha}+2n^{-\alpha/2}N^{-\alpha/2}+N^{-\alpha})=\pi(\Sigma_1+\Sigma_2+\Sigma_3).$$ Tenemos $\Sigma_1\approx \zeta(\alpha)-\frac{N^{1-\alpha}}{\alpha-1}$ , $\Sigma_2\approx 2N^{-\alpha/2} \frac{N^{1-\alpha/2}}{1-\alpha/2}=\frac{2}{1-\alpha/2}N^{1-\alpha}$ y $\Sigma_3\approx N^{1-\alpha}$ . El área de la vecindad de $U'$ es menor que $2\pi\zeta(\alpha)^{1/2}N^{-\alpha/2}=o(N^{1-\alpha})$ . El resultado se deduce porque $$\frac{1}{\alpha-1}-\frac{2}{1-\alpha/2}-1$$ es positivo para $\alpha<4-2\sqrt{2}=1.17157\ldots$ .

Editar : En realidad, el argumento funciona para cualquier forma convexa con simetría central. Lo único que utilicé sobre las bolas es que la suma de Minkowski de una bola y un balón es una bola del tamaño correcto.

Edición 2 : Está claro que si uno quiere una conclusión más fuerte de que uno nunca se atasca, entonces uno necesita hacer errores explícitos en las estimaciones asintóticas anteriores. Entonces uno puede disminuir $\alpha$ para subsumir esos errores, o para considerar las bolas de área $\pi m^{-\alpha},\pi(m+1)^{-\alpha},\dotsc$ en una bola de área total $\pi\sum_{n\geq m} n^{-\alpha}$ para reducir los errores. Esto refleja la sugerencia de John Shier en el artículo enlazado anteriormente.

Answer 2

Mi opinión es que tales conjuntos existen en todas las dimensiones. He aquí una respuesta parcial que explica por qué. Consideremos las inclinaciones de una caja rectangular de área $\zeta(\alpha)$ por baldosas rectangulares paralelas a los ejes de las áreas $1/n^\alpha$ para algunos $\alpha>1$ . Permitimos que las baldosas se aprieten y se estiren mediante transformaciones lineales paralelas a los ejes, siempre que se conserve el área. Supongamos que hemos colocado por descuido la primera $N$ azulejos. A continuación, el espacio restante se puede dividir en $3N+1$ subcajas rectangulares. Dado que la siguiente baldosa tiene un área aproximada de $(\alpha-1)/N$ veces el espacio restante, podemos encajar la siguiente baldosa en la subcaja más grande proporcionada $\alpha<4/3$ .

Si no permitimos apretar y estirar, podríamos tener problemas porque todas las subcajas que son lo suficientemente grandes son demasiado oblongas. Pero parece que si $\alpha$ es lo suficientemente pequeño y lo subdividimos de alguna manera razonable (por ejemplo, para minimizar el perímetro total de las subcajas), entonces esto no debería ocurrir.