¿Qué es? $\text{cov}$$(\hat{y_i}, \hat{y_i}^*)$?

Question

Utilizando el modelo de regresión lineal simple: ${y_i}= {\beta_0} + {\beta_1}x_i + \epsilon_i$ donde E[ $\epsilon_i$ ]=0 y var[ $\epsilon_i] = \sigma^2$ ...

Si $\hat{y_i}= \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_i$ y

$\hat{y_i^*}= \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_i^*$

(donde $\hat{\beta_0}$ y $\hat{\beta_1}$ son estimaciones por mínimos cuadrados ordinarios de $\beta_0$ y $\beta_1$ )

¿cómo podría derivar $\text{cov}$$(\hat{y_i}, \hat{y_i}^*)$?

Esto es lo que he estado pensando:

$\text{cov}$$(\hat{y_i}, \hat{y_i}^*) = cov(\hat{beta_0} + \hat{beta_1}x_i, \hat{beta_0} + \hat{beta_1}x_i^*) = \beta_1^2 cov(x_i, x_i^*) = \beta_1^2[E[(x_i - E(x_i))(x_i^* - E(x_i^*))]$

Si el trabajo que he realizado es correcto, ¿hay algún paso más que pueda dar?

Answer 1

El truco aquí es darse cuenta de que $x_i$ y $x_i^*$ son en este caso constantes.

$cov(\hat{y}_i, \hat{y}_i^*) = cov(\hat{\beta_0} + \hat{\beta}_1 x_i, \hat{\beta_0} + \hat{\beta}_1 x^*_i) = cov(\hat{\beta_0},\hat{\beta_0}) + cov(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1}x_i^*) + cov( \hat{\beta}_1x_i,\hat{\beta_0}) +cov(\hat{\beta}_1x_i,\hat{\beta_1}x_i^*) = var(\hat{\beta_0}) + x_i^*cov(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1}) + x_icov( \hat{\beta}_1,\hat{\beta_0}) + x_ix_i^*var(\hat{\beta}_1) = var(\hat{\beta_0}) + cov(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1})(x_i+x_i^*) + x_ix_i^*var(\hat{\beta}_1)$ .

Ahora el resto debería ser fácil ya que el $var(\hat{\beta}_0),var(\hat{\beta}_1),cov(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1)$ son bien conocidos. Vea aquí los valores exactos de varianza/covarianza: Cómo derivar la matriz de varianza-covarianza de los coeficientes en la regresión lineal

Editar:

En respuesta a tu comentario, realmente es una cuestión de gusto hasta dónde lleves esto a partir de ahora. Yo procedería de la siguiente manera:

$var(\hat{\beta_0}) + cov(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1})(x_i+x_i^*) + x_ix_i^*var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2 \sum x_i^2}{n\sum (x_i-\bar{X})^2} + (x_i+x_i^*)\frac{-\bar{X}\sigma^2}{\sum(x_i-\bar{X})^2}+ x_ix_i^*\frac{\sigma^2}{\sum(x_i - \bar{X})^2} = \frac{\sigma^2}{\sum(x_i-\bar{X})^2}(\frac{\sum x_i^2}{n}-\bar{X}(x_i+x_i^*)+x_ix_i^*)$